Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AB=2，AD=3，點(diǎn)E是線段BC上的一個動點(diǎn)（E與B、C不重合），G、F、H分別是AD、DE、AE的中點(diǎn)，連接HG、GF、FH．
（1）求證：△GHF≌△EFH；
（2）①當(dāng)BE=

 

時，四邊形GHEF是菱形；     
②∠AED的度數(shù)為

 

時，四邊形GHFD為矩形．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,菱形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得GF=HE，HG=EF，再利用SSS定理證明△GHF≌△EFH；
（2）①過A作AM⊥BC，過D作DN⊥BC，可構(gòu)造矩形AMND，進(jìn)而得到MN=AD=3，再求出BC長，可判定△ABE≌△DCE得到AE=DE，再證明四邊形GHEF是平行四邊形，然后證明GH=GF可得四邊形GHEF是菱形；②根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得∠AED=90°．

解答：（1）證明：∵G、F、H分別是AD、DE、AE的中點(diǎn)，
∴GF=

1

2

AE，HE=

1

2

AE，HG=

1

2

ED，EF=

1

2

DE，
∴GF=HE，HG=EF，
在△GHF和△EFH中，

GF=HE GH=EF HF=FH

∴△GHF≌△EFH（SSS）；

（2）解：①當(dāng)BE=2.5時，四邊形GHEF是菱形；
過A作AM⊥BC，過D作DN⊥BC，
∴∠AMN=∠DNB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=90°，
∴四邊形AMND是矩形，
∴MN=3，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=2，
∴BM=1，
同理CN=1，
∴BC=5，
∵EB=2.5，
∴EC=2.5，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠B=∠C EB=EC

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∵G、F、H分別是AD、DE、AE的中點(diǎn)，
∴GH∥DE，GH=

1

2

DE，F(xiàn)G∥AE，F(xiàn)G=

1

2

AE，
∴四邊形GHEF是平行四邊形，
∵AE=ED，
∴GH=GF，
∴四邊形GHEF是菱形；

②∠AED的度數(shù)為90°時，四邊形GHFD為矩形，
∵四邊形GHEF是平行四邊形，
∠AED=90°，
∴四邊形GHFD為矩形．

點(diǎn)評：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，以及菱形和矩形的判定，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造矩形．