Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3經過點A(﹣1，0)和點B(3，0)，該拋物線對稱軸上的點P在x軸上方，線段PB繞著點P逆時針旋轉90°至PC（點B對應點C），點C恰好落在拋物線上．

（1）求拋物線的表達式并寫出拋物線的對稱軸；

（2）求點P的坐標；

（3）點Q在拋物線上，聯結AC，如果∠QAC＝∠ABC，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，x＝1；（2）(1，1)；（3）(，﹣)

【解析】

（1）將點A、B坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）證明△PMC≌△BNP（AAS），則PM＝BN，MC＝PN，即可求解；

（3）設MH＝3x，用x表示AM、GM，利用AG＝AM+GM＝，求出x的值；在△AOH中，OH＝，求得點H的坐標，即可求解．

（1）將點A、B坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3①；

函數的對稱軸為：x＝1；

（2）設點C（m，n），則n＝﹣m2+2m+3，點P（1，s），

如圖1，設拋物線對稱軸交x軸于點N，過點C作CM⊥PN交拋物線對稱軸于點M，

∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPC＝90°，

∴∠MPC＝∠PBN，

∵∠PMC＝∠BNP＝90°，PB＝PC，

∴△PMC≌△BNP（AAS），

∴PM＝BN，MC＝PN，

∴ ，解得：，

故點C（2，3），點P（1，1）；

故點P的坐標為（1，1）；

（3）設直線AC交y軸于點G，直線AQ交y軸于點H，

由（2）知，點C（2，3），而點A（﹣1，0），

過點C作CK⊥x軸于點K，則CK＝AK＝3，

故直線AC的傾斜角為45°，故∠AGO＝∠GAO＝45°，

∴tan∠ABC＝＝3

∵∠QAC＝∠ABC，

∴tan∠QAC＝3；

在△AGH中，過點H作HM⊥AG于點M，設MH＝3x，

∵∠AGO＝45°，則GO＝AO＝1，

∴MG＝MH＝3x，

∵tan∠QAC＝3，則AM＝x，

AG＝AM+GM＝x+3x＝＝，

解得：x＝，

在△AHM中，AH＝＝x＝，

在△AOH中，OH＝＝，故點H（0，﹣），

由點A、H的坐標得，直線AH的表達式為：y＝﹣x﹣②，

聯立①②并解得：x＝﹣1（舍去）或，

故點Q的坐標為：（，﹣）．