【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,D為的中點,過D作DF⊥AB于點E,交⊙O于點F,交弦BC于點G,連接CD,BF.
(1)求證:△BFG≌△DCG;
(2)若AC=10,BE=8,求BF的長;
(3)在(2)的條件下,P為⊙O上一點,連接BP,CP,弦CP交直徑AB于點H,若△BPH與△CPB相似,求CP的長.
【答案】(1)見解析;(2)BF=4;(3)PC=17.
【解析】
(1)證明BF=CD,而∠BFG=∠DCG,∠BGF=∠DGC,則△BFG≌△DCG(AAS);
(2)證明OM是△ABC的中位線,進(jìn)而在Rt△BEF中,利用勾股定理求解即可;
(3)證明∠ACP=∠BCP=45°,在Rt△CBN中,CN=BN=BC=12,而∠CAB=∠CPB,則tan∠CAB=tan∠CPB,即可求解.
(1)∵D是的中點,則=,
∵AB為⊙O的直徑,DF⊥AB,
∴=,
∴=,
∴BF=CD,
又∵∠BFG=∠DCG,∠BGF=∠DGC,
∴△BFG≌△DCG(AAS);
(2)如圖1,連接OD交BC于點M,
∵D為的中點,
∴OD⊥BC,∴BM=CM,
∵OA=OB,
∴OM是△ABC的中位線,
∴OM=AC=5,
∵=,
∴=,
∴OE=OM=5,
∴OD=OB=OE+BE=5+8=13,
∴EF=DE==12,
∴BF==4;
(3)如圖2,
∵弦CP交AB于點H,則點P與點C在直徑的兩側(cè),則∠CBP>∠HBP,
又∵∠CPB=∠BPH,
∴∠ACP=∠BCP,
∵AB是直徑,則∠ACB=∠APB=90°,
∴∠ACP=∠BCP=45°,
過點B作BN⊥PC于點N,由(2)得AB=26,
在Rt△CBN中,CN=BN=BC=12,
∵∠CAB=∠CPB,
∴tan∠CAB=tan∠CPB=,即=,故PN=5,
∴PC=CN+PN=5+12=17.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長AB=8,E為平面內(nèi)一動點,且AE=4,F為CD上一點,CF=2,連接EF,ED,則EFED的最小值為( )
A.6B.4C.4D.6
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【題目】如圖1,正方形ABCD的對角線AC,BD交于點O,將△COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△EOF(旋轉(zhuǎn)角為銳角),連AE,BF,DF,則AE=BF.
(1)如圖2,若(1)中的正方形為矩形,其他條件不變.
①探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
②若BD=7,AE=,求DF的長;
(2)如圖3,若(1)中的正方形為平行四邊形,其他條件不變,且BD=10,AC=6,AE=5,請直接寫出DF的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(m,0),m<0,點B與點A 關(guān)于原點對稱,直線與雙曲線交于C,D兩點.
(1)直接判斷后填空:四邊形ACBD的形狀一定是 ;
(2)若點D(1,t),求雙曲線的解析式;
(3)在(2)的前提下,四邊形ACBD為矩形時,求m的值.
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【題目】在△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交邊BC于點D,分別過D作DE∥AC交邊AB于點E,DF∥AB交邊AC于點F.
(1)如圖1,試判斷四邊形AEDF的形狀,并說明理由;
(2)如圖2,若AD=4,點H,G分別在線段AE,AF上,且EH=AG=3,連接EG交AD于點M,連接FH交EG于點N.
(i)求ENEG的值;
(ii)將線段DM繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DM′,求證:H,F,M′三點在同一條直線上
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【題目】有甲乙兩個玩具小汽車在筆直的240米跑道上進(jìn)行折返跑游戲,甲從點出發(fā),勻速在、之間折返跑,同時乙從點出發(fā),以大于甲的速度勻速在、之間折返跑.在折返點的時間忽略不計.
(1)若甲的速度為,乙的速度為,第一次迎面相遇的時間為,則與的關(guān)系式___________;
(注釋:當(dāng)兩車相向而行時相遇是迎面相遇,當(dāng)兩車在點相遇時也視為迎面相遇)
(2)如圖1,
①若甲乙兩車在距點20米處第一次迎面相遇,則他們在距點_______米第二次迎面相遇:
②若甲乙兩車在距點50米處第一次迎面相遇,則他們在距點__________米第二次迎面相遇;
(3)設(shè)甲乙兩車在距點米處第一次迎面相遇,在距點米處第二次迎面相遇.某同學(xué)發(fā)現(xiàn)了與的函數(shù)關(guān)系,并畫出了部分函數(shù)圖象(線段,不包括點,如圖2所示).
①則_______,并在圖2中補(bǔ)全與的函數(shù)圖象(在圖中注明關(guān)鍵點的數(shù)據(jù));
②分別求出各部分圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
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【題目】2020賀歲片《囧媽》提檔大年三十網(wǎng)絡(luò)首播.“樂調(diào)查”平臺為了全面了解觀眾對《囧媽》的滿意度情況,進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,分為四個類別:.非常滿意;.滿意;.基本滿意;.不滿意,依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成圖1和圖2的統(tǒng)計圖(不完整).
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的觀眾共有_______人;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,扇形的圓心角度數(shù)是_______;
(3)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(4)“樂調(diào)查”平臺調(diào)查了春節(jié)期間觀看《固媽》的觀眾約5000人,請估計觀眾對該電影的滿意(、、類視為滿意)的人數(shù).
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【題目】如圖,ABC內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,∠ACB的平分線CD交⊙O于點D,過點D作⊙O的切線PD,交CA的延長線于點P,過點A作AE⊥CD于點E,過點B作BF⊥CD于點F.
(1)求證:PD//AB;
(2)求證:DE=BF;
(3)若AC=6,tan∠CAB=,求線段PC的長.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點E是上的一點,∠DBC=∠BED.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)已知AD=3,CD=2,求BC的長.
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