【題目】如圖,一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn).

(1)求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式;

(2)作垂直x軸的直線(xiàn)x=t,在第一象限交直線(xiàn)AB于M,交這個(gè)拋物線(xiàn)于N.求當(dāng)t取何值時(shí),MN有最大值?最大值是多少?

(3)在(2)的情況下,以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形,求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+x+2(2)當(dāng)t=2時(shí),MN有最大值4(3)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),(0,﹣2)或(4,4)

解析解:(1)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn),

A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為:A(0,2),B(4,0)。

將x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2;

將x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=。

拋物線(xiàn)解析式為:y=﹣x2+x+2。

(2)如圖1,

設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E,則E(t,0),BE=4﹣t。

,

ME=BEtanABO=(4﹣t)× =2﹣t。

N點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,且xN=t,yN=﹣t2+t+2。

當(dāng)t=2時(shí),MN有最大值4。

(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).

如圖2,

以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形,D點(diǎn)的可能位置有三種情形。

(i)當(dāng)D在y軸上時(shí),設(shè)D的坐標(biāo)為(0,a),

由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2,

從而D為(0,6)或D(0,﹣2)。

(ii)當(dāng)D不在y軸上時(shí),由圖可知D為D1N與D2M的交點(diǎn),

由D1(0,6),N(2,5)易得D1N的方程為y=x+6;

由D2(0,﹣2),M(2,1)D2M的方程為y=x﹣2

由兩方程聯(lián)立解得D為(4,4)

綜上所述,所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),(0,﹣2)或(4,4)。

(1)首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式。

(2)求得線(xiàn)段MN的表達(dá)式,這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的極值求線(xiàn)段MN的最大值。

(3)明確D點(diǎn)的可能位置有三種情形,如圖2所示,不要遺漏.其中D1、D2在y軸上,利用線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo);D3點(diǎn)在第一象限,是直線(xiàn)D1N和D2M的交點(diǎn),利用直線(xiàn)解析式求得交點(diǎn)坐標(biāo)

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