Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y＝x+b與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P坐標為（3，0），過點P作PC⊥x軸于P，且△ABC為等腰直角三角形．

（1）如圖，當∠BAC＝90°，AB＝AC時，求證△ABO≌△CAP；

（2）當AB為直角邊時，請直接寫出所有可能的b值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當AB為直角邊時，所有可能的b值為﹣3或3或﹣1．

【解析】

(1)通過題意可得∠CPA=∠AOB=90°,AB=CA,再根據(jù)互余的性質求出∠OAB=∠PCA,即可證明.

(2)將直線在坐標軸上平移即可分三類情況討論.

(1)證明：∵∠BAC＝90°,

∴∠OAB+∠CAP＝90°,

∵PC⊥x軸,

∴∠CPA＝90°,

∴∠PCA+∠CAP＝90°,

∴∠OAB＝∠PCA,

∵∠AOB＝90°,

∴∠AOB＝∠CPA,

在△ABO和△CAP中,,

∴△ABO≌△CAP(AAS)；

(2)解：分三種情況：

①如圖1所示：

∵直線y＝x+b與x軸交于點A,與y軸交于點B,

∴A(﹣2b,0),B(0,b),

∴OA＝﹣2b,OB＝﹣b,

∵點P坐標為(3,0),

∴OP＝3,

由(1)得：△ABO≌△CAP(AAS),

∴OB＝AP＝﹣b,

∴OP＝OA﹣AP＝﹣b＝3,

∴b＝﹣3；

②如圖2所示：

作CM⊥y軸于M,則CM＝OP＝3,

同①得：△ABO≌△BCM(AAS),

∴OB＝CM＝3,

∴b＝3；

③如圖3所示：

同①得：△ABO≌△CAP(AAS),

∴OB＝AP＝﹣b,

∵OA＝﹣2b,OA+AP＝3,

∴﹣2b﹣b＝3,

∴b＝﹣1；

綜上所述,當AB為直角邊時,所有可能的b值為﹣3或3或﹣1．