Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AD＝15，AO＝12．動點(diǎn)P以每秒2個單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動．同時，動點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動．當(dāng)其中有一點(diǎn)列達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

（1）求線段DO的長；

（2）設(shè)運(yùn)動過程中△POQ兩直角邊的和為y，請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）請直接寫出點(diǎn)P在線段OC上，點(diǎn)Q在線段DO上運(yùn)動時，△POQ面積的最大值，并寫出此時的t值．

Answer 1

【答案】（1）9（2）見解析（3）當(dāng)t＝時，△POQ面積的最大值

【解析】

（1）根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)得到直角△AOD，在該直角三角形中利用勾股定理來求線段DO的長度；

（2）需要分類討論：點(diǎn)P在線段OA上、點(diǎn)Q在線段OD上；點(diǎn)P在線段OC上，點(diǎn)Q在線段OD上；點(diǎn)P在線段OC上，點(diǎn)Q在線段OB上；

（3）由6＜t≤9時OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t可得△POQ的面積S＝（9﹣t）（12﹣2t）＝﹣t2+15t﹣54＝﹣（t﹣）2+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

在Rt△AOD中，AD＝15，AO＝12

由勾股定理得：

OD＝＝9．

（2）①當(dāng)0≤t≤6時，OP＝12﹣2t，OQ＝9﹣t，則OP+OQ＝12﹣2t+9﹣t＝﹣3t+21

即：y＝﹣3t+21；

②當(dāng)6＜t≤9時，OP＝2t﹣12，OQ＝9﹣t，則OP+OQ＝2t﹣12+9﹣t＝t﹣3

即：y＝t﹣3；

③當(dāng)9＜t≤12時，OP＝2t﹣12，OQ＝t﹣9，則OP+OQ＝2t﹣12+t﹣9＝3t﹣21

即：y＝3t﹣21；

綜上所述：y＝；

（3）如圖，

當(dāng)6＜t≤9時，∵OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t，

∴△POQ的面積S＝（9﹣t）（12﹣2t）

＝﹣t2+15t﹣54

＝﹣（t﹣）2+，

∴當(dāng)t＝時，△POQ面積的最大值．