Question

【題目】在中，．

(1)如圖①，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為腰在右側(cè)作等腰，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．求證：．

(2)如圖②，以為底邊在左側(cè)作等腰，連接，求的度數(shù)．

(3)如圖③，中，,垂足為點(diǎn)，以為邊在左側(cè)作等邊,連接交于，,,求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）8

【解析】

（1）根據(jù)“一線三垂直”模型，可以證得；

（2）過點(diǎn)C作CM⊥CO交BO于M，AC與BO交于點(diǎn)N，利用旋轉(zhuǎn)模型證明≌，由外角的性質(zhì)計(jì)算即可；

（3）在CE上截取一點(diǎn)H，使CH=AE，連接OH，利用等腰直角△AOB，等邊△BOC證得≌，通過等角代換證明為等邊三角形，由線段和計(jì)算即可得到結(jié)果．

（1）∵∠BAC=∠AOB=90°，

∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DAC=∠ABO，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，

在△AOB和△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（AAS）

（2）如圖②，過點(diǎn)C作CM⊥CO交BO于M，AC與BO交于點(diǎn)N，

，

，

，，

，

∵AC=BC，

≌，

，

，

，

故答案為：135°．

（3）如圖③，在CE上截取一點(diǎn)H，使CH=AE，連接OH，

∵△AOB是等腰直角三角形，△BOC是等邊三角形，所以

，

，

≌，

，AE=CH=3，∠AOE=∠COH，

，∠AOB=90°，

，

，∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°，

，

為等邊三角形，

，

，

故答案為：8．