Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為C點(diǎn)，與x軸交于A（m-2，0）、B（m+2，0）兩點(diǎn)，且AC⊥BC．
（1）求a的值；
（2）設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD與△ABC相似？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y有最小值為-1，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先由拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸交于A（m-2，0）、B（m+2，0）兩點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，再由AC⊥BC，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得出△ABC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出|-4a|=

1

2

AB=2，結(jié)合a＞0即可求出a=

1

2

；
（2）先由拋物線y=

1

2

（x-m）²-2交y軸正半軸于D點(diǎn)，得出D（0，

1

2

m²-2），OD=

1

2

m²-2．再由△ABC是等腰直角三角形，得到當(dāng)△BOD與△ABC相似時(shí)，△BOD也是等腰直角三角形，于是OD=OB．然后分m+2＞0；m+2＜0；m+2=0三種情況進(jìn)行討論；
（3）先由二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)y=

1

2

（x-m）²-2，當(dāng)x=m時(shí)，y有最小值為-2．根據(jù)題目條件0≤x≤1時(shí)，y有最小值為-1，可知m＜0或m＞1．再分m＜0；m＞1兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸交于A（m-2，0）、B（m+2，0）兩點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a，
∴頂點(diǎn)C（m，-4a），
∵AC⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴|-4a|=

1

2

AB=2，
∴a=

1

2

；

（2）∵拋物線y=

1

2

（x-m）²-2交y軸正半軸于D點(diǎn)，
∴D（0，

1

2

m²-2），OD=

1

2

m²-2．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴當(dāng)△BOD與△ABC相似時(shí)，△BOD也是等腰直角三角形，
∴OD=OB．
①當(dāng)m+2＞0時(shí)，

1

2

m²-2=m+2，解得m₁=4，m₂=-2（不合題意舍去）；
②當(dāng)m+2＜0時(shí)，

1

2

m²-2=-（m+2），解得m₁=0，m₂=-2（均不合題意，都舍去）；
③當(dāng)m+2=0即m=-2時(shí)，B、O、D三點(diǎn)重合，（不合題意舍去）；
綜上所述，存在實(shí)數(shù)m=4，使得△BOD與△ABC相似；

（3）∵y=

1

2

（x-m）²-2，
∴當(dāng)x=m時(shí)，y有最小值為-2．
∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y有最小值為-1，
∴m＜0或m＞1．
①當(dāng)m＜0時(shí)，頂點(diǎn)（對(duì)稱軸x=m）在0≤x≤1范圍左側(cè)，
此時(shí)函數(shù)在0≤x≤1范圍內(nèi)y隨著x的增大增大，所以當(dāng)x=0時(shí)，y最小，
所以-1=

1

2

（0-m）²-2，
解得m=±

2

，
因m＜0，所以m=-

2

；
②當(dāng)m＞1時(shí)，頂點(diǎn)（對(duì)稱軸x=m）在0≤x≤1范圍右側(cè)，
此時(shí)函數(shù)在0≤x≤1范圍內(nèi)y隨著x的增大而減小，
所以當(dāng)x=1時(shí)，y最小，
所以-1=

1

2

（1-m）²-2，
解得m=1±

2

，
因m＞1，所以m=1+

2

；
綜上所述，m的值為-

2

或1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的對(duì)稱性、增減性，最值的求法，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．