Question

如圖，△ABC中，⊙O經過A、B兩點，且交AC于點D，∠DBC=∠BAC．
（1）判斷BC與⊙O有何位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為4，∠BAC=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接BO并延長交⊙O于點E，連接DE．由圓周角定理得出∠BDE=90°，再求出∠EBD+∠DBC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得出BC是⊙O的切線；
（2）分別求出等邊三角形DOB的面積和扇形DOB的面積，即可求出答案．

解答：解：（1）BC是⊙O的切線．理由如下：
連接BO并延長交⊙O于點E，連接DE．
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BDE=90°，
∴∠EBD+∠E=90°，
∵∠DBC=∠DAB，∠DAB=∠E，
∴∠EBD+∠DBC=90°，
即OB⊥BC，
又∵點B在⊙O上，
∴BC是O的切線；

（2）∵∠BOD=2∠A=60°，OB=OD，
∴△BOD是邊長為4的等邊三角形，
∴S_△BOD=

3

4

×4²=4

3

，
∵S_扇形DOB=

60π×42

360

=

8

3

π，
∴S_陰影=S_扇形DOB-S_△BOD=

8

3

π-4

3

．

點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，扇形面積，等邊三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出∠EBD+∠DBC=90°和分別求出扇形DOB和三角形DOB的面積．