Question

某大學畢業(yè)生響應國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召，投資開辦了一個裝飾品商店．該店采購進一種今年新上市的飾品進行了30天的試銷售，購進價格為20元/件．銷售結(jié)束后，得知日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間有如下關(guān)系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x為整數(shù)）；又知前20天的銷售價格Q₁（元/件）與銷售時間x（天）之間有如下關(guān)系：Q₁=x+30（1≤x≤20，且x為整數(shù)），后10天的銷售價格Q₂（元/件）與銷售時間x（天）之間有如下關(guān)系：Q₂=45（21≤x≤30，且x為整數(shù)）．

（1）試寫出該商店前20天的日銷售利潤R₁（元）和后10天的日銷售利潤R₂（元）分別與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請問在這30天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤最大？并求出這個最大利潤．

注：銷售利潤=銷售收入﹣購進成本．

Answer 1

 

【考點】二次函數(shù)的應用．

【專題】應用題；壓軸題．

【分析】（1）運用營銷問題中的基本等量關(guān)系：銷售利潤=日銷售量×一件銷售利潤．一件銷售利潤=一件的銷售價﹣一件的進價，建立函數(shù)關(guān)系式；

（2）分析函數(shù)關(guān)系式的類別及自變量取值范圍求最大值；其中R₁是二次函數(shù)，R₂是一次函數(shù)．

【解答】解：（1）根據(jù)題意，得

R₁=P（Q₁﹣20）=（﹣2x+80）[（x+30）﹣20]，

=﹣x²+20x+800（1≤x≤20，且x為整數(shù)），

R₂=P（Q₂﹣20）=（﹣2x+80）（45﹣20），

=﹣50x+2000（21≤x≤30，且x為整數(shù)）；

 

（2）在1≤x≤20，且x為整數(shù)時，

∵R₁=﹣（x﹣10）²+900，

∴當x=10時，R₁的最大值為900，

在21≤x≤30，且x為整數(shù)時，

∵R₂=﹣50x+2000，﹣50＜0，R₂隨x的增大而減小，

∴當x=21時，R₂的最大值為950，

∵950＞900，

∴當x=21即在第21天時，日銷售利潤最大，最大值為950元．

【點評】本題需要反復讀懂題意，根據(jù)營銷問題中的基本等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)時間段列出分段函數(shù)，再結(jié)合自變量取值范圍分別求出兩個函數(shù)的最大值，并進行比較，得出結(jié)論．