Question

已知：直線y=﹣x+3與x軸y軸分別交于點A、點B，拋物線y=﹣x²+bx+c經(jīng)過點A和點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點C（0，2），點P（m，0）是線段OA上的一點（不與O、A重合），過點P作PM垂直x軸，交拋物線于點M，連接BM、AC、AM，設(shè)四邊形ACBM的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，點D是線段OP的中點，連接BD，當(dāng)S取最大值時，試求直線BD與AC所成的銳角度數(shù)．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、B坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求出二次函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)題意作出輔助線，根據(jù)S=S_梯形OPMB﹣+S_△APM﹣S_△OAC可得函數(shù)解析式；

（3））由（2）中函數(shù)關(guān)系式得出m及S的值，根據(jù)點D是線段OP的中點得出D點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC、BD的解析式，故可得出G點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出DG的長，過點D作DF⊥AC于點F，求出直線DF的解析式，故可得出F點的坐標(biāo)，求出DF的長，利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

【解答】解：（1）在y=﹣x+3中，

當(dāng)y=0時，x=4，所以A（4，0），

當(dāng)x=0時，y=3，所以B（0，3），

∵拋物線y=﹣x²+bx+c經(jīng)過A、B，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+3；

 

（2）如圖1所示，

∵P（m，0），

∴OP=m，PM=﹣m²+m+3

∴S=S_梯形OPMB+S_△APM﹣S_△OAC

=（PM+OB）•OP+AP•PM﹣OA•OC

=（﹣m²+m+3+3）•m+（4﹣m）（﹣m²+m+3）﹣×4×2

=﹣m²+3m+2（0＜m＜4）；

 

（3）∵由（2）知S=﹣m²+3m+2，

∴當(dāng)m=2時，S_最大=5，

∴P（2，0）．

∵點D是線段OP的中點，

∴D（1，0）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵A（4，0），C（0，2），

∴，解得，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+2．

設(shè)直線BD的解析式為y=ax+c（a≠0），

∵B（0，3），D（1，0），

∴，解得，

∴直線BD的解析式為y=﹣3x+3，

∴，解得，

∴G（，），

∴DG===．

過點D作DF⊥AC于點F，

∵直線AC的解析式為y=﹣x+2，

∴設(shè)直線DF的解析式為y=2x+d，

∵D（1，0），

∴2+d=0，解得d=﹣2，

∴設(shè)直線DF的解析式為y=2x﹣2，

∴，解得，

∴F（，），

∴DF==，

∴sin∠DGF===，

∴∠DGF=45°，即直線BD與AC所成的銳角是45°．

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形面積公式、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識，綜合性強，值得關(guān)注．