Question

把兩個直角三角形如圖（1）放置，使∠ACB與∠DCE重合，AB與DE相交于點O，其中∠DCE=90°，∠BAC=45°，AB=6

2

cm，CE=5cm，CD=10cm．
（1）圖1中線段AO的長=

 

cm；DO=

 

cm
（2）如圖2，把△DCE繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°）得△D₁CE₁，D₁C與AB相交于點F，若△BCE₁恰好是以BC為底邊的等腰三角形，求線段AF的長．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點O作OM⊥DC于點M，作ON⊥CB于點N，進而得出AD的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DO的長，再利用勾股定理得出AO的長；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tan∠BCE₁=tanα=

4

3

，再利用tan∠D₁CA=tanα=

FG

6-FG

，即可得出FG的長，進而得出AF的長．

解答：解：（1）過點O作OM⊥DC于點M，作ON⊥CB于點N，
∵∠BAC=45°，AB=6

2

cm，
∴BC=AC=6cm，
∵CE=5cm，CD=10cm，
∴BE=1cm，AD=4cm，
設(shè)MO=xcm，
∴AM=xcm，
∴tanD=

MO

MD

=

x

4+x

=

EC

DC

=

5

10

，
解得：x=4，
∴DM=8cm，MO=4cm，
∴DO=4

5

cm，
∵MO=AM=4cm，
∴AO=4

2

cm，
故答案為：4

2

，4

5

；

（2）作FG⊥AC于G點，
設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為α度，
即∠BCE₁=∠D₁CA=α，
在△BCE₁中，BE₁=CE₁=5，BC=6，
所以tan∠BCE₁=tanα=

4

3

，
因為FG⊥AC，∠ACB=90°，
所以FG∥BC，
所以FG=AG，
所以tan∠D₁CA=tanα=

FG

6-FG

，
∴

4

3

=

FG

6-FG

，
解得：FG=

24

7

，
所以AF=

24

7

2

（cm）．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，熟練結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出MO的長是解題關(guān)鍵．