Question

綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（-2，3），拋物線W經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)，D是拋物線W的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線W的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將拋物線W和?OABC一起先向右平移4個(gè)單位后，再向下平移m（0＜m＜3）個(gè)單位，得到拋物線W′和?O′A′B′C′，在向下平移的過程中，設(shè)?O′A′B′C′與?OABC的重疊部分的面積為S，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線W′的頂點(diǎn)為F，若點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線W′上的動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),平移的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由平移性質(zhì)，可知重疊部分為一平行四邊形．如答圖2，作輔助線，利用相似比例式求出平行四邊形的邊長(zhǎng)和高，從而求得其面積的表達(dá)式；然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
（3）本問涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的判定與性質(zhì)，區(qū)分點(diǎn)N在x軸上方、下方兩種情況，分類討論，避免漏解．設(shè)M（t，0），利用全等三角形求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入拋物線W′的解析式求出t的值，從而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線W的解析式為W=ax²+bx+c，
∵拋物線W經(jīng)過O（0，0）、A（4，0）、C（-2，3）三點(diǎn)，
∴

c=0 16a+4b+c=0 4a-2b+c=3

，
解得：

a= 1 4 b=-1 c=0

∴拋物線W的解析式為W=

1

4

x²-x．
∵W=

1

4

x²-x=

1

4

（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1）．

（2）由?OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）．
如答圖2，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，由平移可知，點(diǎn)C′在BE上，且BC′=m．

∴BE=3，OE=2，∴EA=OA-OE=2．
∵C′B′∥x軸，
∴△BC′G∽△BEA，
∴

BC′

BE

=

C′G

EA

，即

m

3

=

C′G

2

，
∴C′G=

2

3

m．
由平移知，?O′A′B′C′與?OABC的重疊部分四邊形C′HAG是平行四邊形．
∴S=C′G•C′E=

2

3

m（3-m）=-

2

3

（m-

3

2

）²+

3

2

，
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，S有最大值為

3

2

．

（3）答：存在．
在（2）的條件下，拋物線W向右平移4個(gè)單位，再向下平移

3

2

個(gè)單位，得到拋物線W′，
∵D（2，-1），∴F（6，-

5

2

）；
∴拋物線W′的解析式為：y=

1

4

（x-6）²-

5

2

．
設(shè)M（t，0），
以D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
①若點(diǎn)N在x軸下方，如答圖3所示：

過點(diǎn)D作DP∥y軸，過點(diǎn)F作FP⊥DP于點(diǎn)P，
∵D（2，-1），F(xiàn)（6，-

5

2

），∴DP=

3

2

，F(xiàn)P=4；
過點(diǎn)N作NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
由四邊形FDMN為平行四邊形，易證△DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP=

3

2

，
∴N（4+t，-

3

2

），
將點(diǎn)N坐標(biāo)代入拋物線W′的解析式y(tǒng)=

1

4

（x-6）²-

5

2

，得：

1

4

（t-2）²-

5

2

=-

3

2

，
解得：t=0或t=4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）或（4，0）；
②若點(diǎn)N在x軸上方，（請(qǐng)自行作圖）
與①同理，得N（t-4，

3

2

）
將點(diǎn)N坐標(biāo)代入拋物線W′的解析式y(tǒng)=

1

4

（x-6）²-

5

2

，得：

1

4

（t-10）²-

5

2

=

3

2

，
解得：t=6或t=14，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，0）或（14，0）．
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)壓軸題，難度較大．第（1）問考查了待定系數(shù)法及二次函數(shù)的性質(zhì)；第（2）問考查了平移變換、平行四邊形、相似三角形、二次函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是確定重疊部分是一個(gè)平行四邊形；第（3）問考查了平行四邊形、全等三角形、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是平行四邊形的判定條件．