Question

已知B（3，0）在拋物線y=-x²+2x+3上，以O(shè)B為直徑作⊙E，則在y軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線于與E交于M、N兩點(diǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn)Q，使得PM+QN=MN？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3），則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2-a，-a²+2a+3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（1.5，-a²+2a+3），在Rt△EFM中，根據(jù)勾股定理可得EM²=MF²+EF²，從而得到關(guān)于a的方程，解方程即可得到a的值，進(jìn)一步得到點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：解：如圖，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3），則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2-a，-a²+2a+3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（1.5，-a²+2a+3），
則PQ=2-2a，
∵PM+QN=MN，
∴MN=1-a，
∴MF=

1

2

-

1

2

a，
在Rt△EFM中，EM²=MF²+EF²，
即1.5²=（

1

2

-

1

2

a）²+（-a²+2a+3）²，
可得（4a²-8a-7）（a²-2a-4）=0，
解得a₁=

11

2

+1（不合題意舍去），a_，2=-

11

2

+1，a₃=

5

+1（不合題意舍去），a_，2=-

5

+1，
當(dāng)a₂=-

11

2

+1時(shí)，有4a²-8a-7=0，則a²-2a=

7

4

，則-a²+2a+3=

5

4

；
當(dāng)a₄=-

5

+1時(shí)，有a²-2a-4=0，則a²-2a=4，則-a²+2a+3=-1．
綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

11

2

+1，

5

4

）或（-

5

+1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：垂徑定理，兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理，方程思想，整體思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．