Question

【題目】如圖，拋物線的解析式為y＝﹣x+5，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D．

（1）E點(diǎn)是線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線EF平行于y軸，交BC于點(diǎn)F，若線段CD長(zhǎng)度保持不變，沿直線BC移動(dòng)得到C'D'，當(dāng)線段EF最大時(shí)，求EC'+C'D'+D'B的最小值；

（2）Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P是△APQ為等邊三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出三角形邊長(zhǎng)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，滿足要求的等邊三角形的邊長(zhǎng)可以是：6、2、2．

【解析】

（1）根據(jù)解析式把必要的點(diǎn)的坐標(biāo)及線段長(zhǎng)度求出來(lái)備用．將E點(diǎn)橫坐標(biāo)設(shè)為未知數(shù)，用E、F的縱坐標(biāo)之差表示EF長(zhǎng)度，通過(guò)配方求EF的最值及取得最值時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)．由于C'D'長(zhǎng)度不變，因此將EC'平移至E'D'，注意到∠CBO是30°，作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H，根據(jù)垂線段最短原理即可確定最值．

（2）圖形有四種情況，分別進(jìn)行構(gòu)圖求解．當(dāng)Q與B重合時(shí)對(duì)應(yīng)兩種圖（P到x上方和下方），這兩種情況的等邊三角形的邊長(zhǎng)是一樣的，就是AB的長(zhǎng)；第三種情況，Q與C重合，此時(shí)的等邊三角形邊長(zhǎng)就是AC長(zhǎng)度（這種情況下，P其實(shí)就是△ABC的外心）；第四種情況，Q在第三象限，由于PQ＝PA＝PB，根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系可得∠ABQ＝30°，于是可求出BQ解析式，將BQ解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組可解出Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后由兩點(diǎn)間的距離公式求出AQ長(zhǎng)度就是對(duì)應(yīng)的等邊三角形的邊長(zhǎng)．

解：（1）因?yàn)?/span>y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），

∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），拋物線對(duì)稱軸為x＝＝2，

由B、C坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y＝﹣x+5，

令x＝2，則y＝﹣×2+5＝3，

∴D（2，3），

∴CD＝C'D'＝4．

設(shè)E（m，﹣m2+m+5），則F（m，﹣m+5），

∴EF＝yE﹣yF＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m＝時(shí)，EF取得最大值，此時(shí)E（，）．

如圖1，作平行四邊形EC'D'E'，則EC'＝E'D'，E'（，）．

作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．

∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，

∴D'G＝D'B，

∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，

當(dāng)且僅當(dāng)E'、D'、G三點(diǎn)共線時(shí)，

EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．

（2）①如圖2，△APQ是等邊三角形，此時(shí)Q與B重合，

∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為AQ＝AB＝6．

②如圖3，△APQ是等邊三角形，此時(shí)Q與B重合，P在x軸下方．

∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為AQ＝AB＝6．

③如圖4，△APQ是等邊三角形，此時(shí)Q與C重合，P在x軸上方．

∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為AQ＝AC＝2．

④如圖5，△APQ是等邊三角形，此時(shí)Q在第三象限，P在x軸下方．

∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三點(diǎn)在以P為圓心PA為半徑為圓周上，

∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，

∴直線BQ的解析式為y＝x﹣5，

聯(lián)立方程組，

解得或（舍），

∴Q＝（﹣2，﹣7），

∴AQ＝2，即等邊△APQ的邊長(zhǎng)為2．

綜上所述，滿足要求的等邊三角形的邊長(zhǎng)可以是：6、2、2．