Question

是否存在這樣的實數(shù)a，b，使得對于每個正整數(shù)n≥2，
（1）a+b是有理數(shù)，而aⁿ+bⁿ是無理數(shù)；
（2）a+b是無理數(shù)，而aⁿ+bⁿ是有理數(shù)．

Answer 1

考點：有理數(shù)無理數(shù)的概念與運算

專題：存在型,分類討論

分析：（1）可通過舉例說明存在實數(shù)a，b，使得對于每個正整數(shù)n≥2，a+b是有理數(shù)時，aⁿ+bⁿ都是無理數(shù)．
（2）可分三種情況（①實數(shù)a、b都是有理數(shù)，②實數(shù)a、b中一個是有理數(shù)另一個是無理數(shù)，③實數(shù)a、b都是無理數(shù)）進(jìn)行討論，即可解決問題．

解答：解：（1）存在．
比如：當(dāng)a=1-

2

，b=

2

時，
對于每個正整數(shù)n≥2，都有a+b=1是有理數(shù)，aⁿ+bⁿ=（1-

2

）ⁿ+（

2

）ⁿ都是無理數(shù)．
事實上，當(dāng)a=m+x，b=n-x（其中x是無理數(shù)，m、n是有理數(shù)，且m+n≠0）時，
對于每個正整數(shù)n≥2，都有a+b=m+n是有理數(shù)，aⁿ+bⁿ=（m+x）ⁿ+（n-x）ⁿ都是無理數(shù)．

（2）不存在．
理由如下：
①實數(shù)a、b都是有理數(shù)，
此時a+b是有理數(shù)，與條件“a+b是無理數(shù)”矛盾，故舍去．
②實數(shù)a、b中一個是有理數(shù)另一個是無理數(shù)，
此時a+b是無理數(shù)，aⁿ、bⁿ必有一個是有理數(shù)另一個是無理數(shù)．
所以aⁿ+bⁿ必是無理數(shù)，而不是有理數(shù)．
③實數(shù)a、b都是無理數(shù)，
因為a+b是無理數(shù)，
所以a與b不可能是互為相反數(shù)．
所以aⁿ與bⁿ也不可能互為相反數(shù)，即aⁿ+bⁿ≠0．
因為實數(shù)a是無理數(shù)，
所以aⁿ、aⁿ⁺¹（n≥2）中至少有一個是無理數(shù)．
同理：bⁿ、bⁿ⁺¹（n≥2）中至少有一個是無理數(shù)．
Ⅰ．若aⁿ、bⁿ都是有理數(shù)，
則aⁿ⁺¹、bⁿ⁺¹都是無理數(shù)．
因為aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹≠0，
所以aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹是無理數(shù)．
Ⅱ．若aⁿ、bⁿ只有一個是有理數(shù)，
則aⁿ+bⁿ必是無理數(shù)．
Ⅲ．若aⁿ、bⁿ都是無理數(shù)，
因為aⁿ+bⁿ≠0，
所以aⁿ+bⁿ必是無理數(shù)．
綜上所述：不能保證對于每個正整數(shù)n≥2，當(dāng)a+b是無理數(shù)時，aⁿ+bⁿ都是有理數(shù)．
故符合要求的實數(shù)a、b不存在．

點評：本題主要考查了有理數(shù)及無理數(shù)的運算，用到了“有理數(shù)與有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算結(jié)果仍為有理數(shù)”，“有理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，“非零的有理數(shù)與無理數(shù)的乘積是無理數(shù)等知識，還考查了分類討論的思想，而正確理解條件“對于每個正整數(shù)n≥2”的含義”是解決本題的關(guān)鍵．