Question

如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經(jīng)過(guò)圓心O，交⊙O于C、D兩點(diǎn)，直徑AB⊥CD，點(diǎn)M是直線CD上異于點(diǎn)C、O、D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AM所在的直線交于⊙O于點(diǎn)N，點(diǎn)P是直線CD上另一點(diǎn)，且PM=PN．

（1）當(dāng)點(diǎn)M在⊙O內(nèi)部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在⊙O外部，如圖三，∠AMO=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)切線的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA進(jìn)而求出即可；
（2）根據(jù)已知得出∠PNM+∠ONA=90°，進(jìn)而得出∠PNO=180°-90°=90°即可得出答案；
（3）首先根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠AON=60°進(jìn)而利用扇形面積公式得出即可．

解答：解：（1）PN與⊙O相切．
證明：連接ON，
則∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵∠AMO=∠PMN，
∴∠PNM=∠AMO，
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°，
即PN與⊙O相切．

（2）成立．
證明：連接ON，
則∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
在Rt△AOM中，∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°．
∴∠PNO=180°-90°=90°．
即PN與⊙O相切．

（3）連接ON，由（2）可知∠ONP=90°．
∵∠AMO=30°，PM=PN，
∴∠PNM=30°，∠OPN=60°，
∴∠PON=30°，∠AON=60°，
作NE⊥OD，垂足為點(diǎn)E，
則NE=ON•sin30°=1×

1

2

=

1

2

，
S_陰影=S_△AOC+S_扇形AON-S_△CON
=

1

2

OC•OA+

60°

360°

×π×1²-

1

2

CO•NE
=

1

2

×1×1+

1

6

π-

1

2

×1×

1

2

=

1

4

+

1

6

π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了扇形面積公式以及切線的判定等知識(shí)，熟練根據(jù)切線的判定得出對(duì)應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵，此類綜合型題目，對(duì)學(xué)生的基本功要求較高，注意將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．