Question

定義：在三角形所在的平面上任作一條直線，若該直線將這個三角形分割成兩部分，且分割后至少有一部分與原三角形相似，則這條直線叫做這個三角形的相似分割線．
（1）如圖1，在△ABC中，已知∠ACP=∠B，則直線CP就是△ABC的相似分割線．
①若∠A=90°，請在圖1中作出過點P的△ABC的其余的相似分割線；
②如圖2，在△ABC中，若直線CF是△ABC過點C的相似分割線，點P在線段AF（包含點F、不包含點A）上運(yùn)動，請寫出△ABC的過點P的所有相似分割線的條數(shù)．
（2）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，H、G是⊙O上不同的兩點，B是

AH

的中點，C是

AG

的中點，且AG、AH分別交BC于點D、E兩點．
①求證：AG和AH都是△ABC的相似分割線；
②如果AE、AD恰好又是△ABD和△ACE的相似分割線，試說明：此時D、E兩點剛好是BC邊上的黃金分割點．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)相似分割線的定義，畫出符合題意的直線即可；
（2）①B是

AH

的中點，C是

AG

的中點，可得∠C=∠BAH，從而可證明△ABE∽△CBA，同理可證△ACD∽△BCA，從而可得出結(jié)論．
②根據(jù)相似分割線的定義，可得△ADE∽△BDA，△ADE∽△CAE，從而有∠B=∠DAE=∠C，結(jié)合∠C=∠BAH，∠B=∠CAG，可推出AB=AC=BD=CE，由①的結(jié)論，利用等量代換，可得出結(jié)論．

解答：解：（1）①如圖1，l₁、l₂、l₃就是所求的相似分割線；
②如圖2，△ABC的過點P的所有相似分割線共有4條；

（2）①∵B是

AH

的中點，C是

AG

的中點，
∴∠C=∠BAH，
又∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
同理：△ACD∽△BCA，
∴AH和AG是△ABC的相似分割線；
②∵AE、AD是△ABD和△ACE的相似分割線，
∴△ADE∽△BDA，△ADE∽△CAE，
∴∠B=∠DAE=∠C，
又∵∠C=∠BAH，∠B=∠CAG，
∴∠B=∠DAE=∠C=∠BAH=∠CAG=36°（在△ABC中利用內(nèi)角和定理），
∴∠BAD=∠BDA=∠CAE=∠CEA=72°，
∴AB=AC=BD=CE，
又∵△ABE∽△CBA，△ACD∽△BCA，
∴AB²=BE•BC，AC²=CD•CB，
∴CE²=BE•BC，BD²=CD•CB，
∴D、E兩點剛好是BC邊上的黃金分割點．

點評：本題考查了相似性綜合題，立意新穎，解題之前一定要先理解相似分割線的定義，要求同學(xué)們熟練掌握相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．