Question

【題目】如圖1，在△ABC中，BA=BC，點D，E分別在邊BC、AC上，連接DE，且DE=DC．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：若∠ACB=∠ECD=45°，則 ．

（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，將△EDC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°），圖2是旋轉(zhuǎn)過程中的某一位置，在此過程中的大小有無變化？如果不變，請求出的值，如果變化，請說明理由．

（3）問題解決：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），將△EDC旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，則的值為 ．（用含β的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）此過程中的大小有變化，（3）2cosβ

【解析】

1）如圖1，過E作EF⊥AB于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四邊形EFBD是矩形，得到EF=BD，推出△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即，根據(jù)角的和差得到∠ACE=∠BCD，求得△ACE∽△BCD，證得，過點B作BF⊥AC于點F，則AC=2CF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：（1）如圖1，過E作EF⊥AB于F，

∵BA=BC，DE=DC，∠ACB=∠ECD=45°，

∴∠A=∠C=∠DEC=45°，

∴∠B=∠EDC=90°，

∴四邊形EFBD是矩形，

∴EF=BD，

∴EF∥BC，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴，

故填：，

（2）此過程中的大小有變化，

由題意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴，

在△ABC中，如圖2，過點B作BF⊥AC于點F，則AC=2CF，

在Rt△BCF中，，

∴AC=BC．

∴；

（3）由題意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β，

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD，

∴，

在△ABC中，如圖3，過點B作BF⊥AC于點F，則AC=2CF，

在Rt△BCF中，CF=BCcosβ，

∴AC=2BCcosβ．

∴=2cosβ，

故答案為2cosβ．