Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在軸上，，以為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，連接，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大值是多少？

（3）若點(diǎn)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在軸上方是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，其最大值為10；（3）①；②點(diǎn)或或

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求出b,c，即可求出解析式，再求出A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先求出直線AC的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，得點(diǎn)，利用求出t的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解；

（3）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，根據(jù)①當(dāng)是菱形一條邊時(shí)，②當(dāng)是菱形一對(duì)角線時(shí)，分別利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行列式求解.

解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：，

則點(diǎn)；

（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線的表達(dá)式為：，

點(diǎn)，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，

，

∵，故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為10；

（3）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

①當(dāng)是菱形一條邊時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，

點(diǎn)向右平移3個(gè)單位、向下平移3個(gè)單位得到，

則點(diǎn)平移3個(gè)單位、向下平移3個(gè)單位得到，

則，，

而得：，

解得：，

故點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，

同理可得：點(diǎn)；

②當(dāng)是菱形一對(duì)角線時(shí)，

則中點(diǎn)即為中點(diǎn)，

則，，

而，即，

解得：，

故，，

故點(diǎn)；

綜上，點(diǎn)或或．