Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2﹣4x+5交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD．

（1）求直線AD的解析式．

（2）點(diǎn)E（m，0）、F（m+1，0）為x軸上兩點(diǎn)，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分別平行于y軸，交拋物線于點(diǎn)E′和F′，交AD于點(diǎn)M、N，當(dāng)ME′+NF′的值最大時(shí)，在y軸上找一點(diǎn)R，使得|RE′﹣RF′|值最大，請(qǐng)求出點(diǎn)R的坐標(biāo)及|RE′﹣RF′|的最大值．

（3）如圖2，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，請(qǐng)出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的面積，若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=3x+15；（2）點(diǎn)R的坐標(biāo)是（0，17），最大值為；（3）存在，P（ ），P′（），面積為

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的解析式求得點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法來求直線AD的解析式即可;

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得

ME'＋ NF'＝－m2－7m－10－m2－9m－18＝2m2－16m－28;結(jié)合二次函數(shù)最值的求法和兩點(diǎn)間線段最短得到:要使|RE′－ RF′|值最大，則點(diǎn)E'、F′、R三點(diǎn)在一條直線上,只需求得點(diǎn)E'、F'的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法推知直線E'F'關(guān)系式，由該關(guān)系式來求點(diǎn)R的坐標(biāo)即可;

(3)當(dāng)PA ＝ PC時(shí),點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上,結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行解答.

（1）如圖1，∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+5）（x﹣1）或y=﹣（x+2）2+9，

∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．

設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐標(biāo)代入，得

，

解得．

故直線AD的解析式為：y=3x+15；

（2）如圖1，∵EE′∥y軸，FF′∥y軸，E（m，0）、F（m+1，0），

∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），

∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，

∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．

∵﹣2＜0，

∴m=﹣=﹣4，

∴ME′+NF′有最大值，此時(shí)E′（﹣4，5），F(xiàn)′（﹣3，8），

要使|RE′﹣RF′|值最大，則點(diǎn)E′、F′、R三點(diǎn)在一條直線上，

∴設(shè)直線E′F′：y=kx+b（k≠0），則

，

解得，

∴直線E′F′：y=3x+17（k≠0）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=17，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是（0，17）．

此時(shí)，|RE′﹣RF′|的最大值為=；

（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣4x+5）．

當(dāng)PA=PC時(shí)，點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，

∵OC=OA，

∴點(diǎn)O在線段AC的垂直平分線上，

∴點(diǎn)P在∠AOC的角平分線上，

∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，

解得x1=，x2=，

∴P（，），P′（，）．

∴PH=OP﹣OH=，P′H=OP′+OH=，

∴S△PAC=ACPH=×5×=或S△PAC=ACP′H=×5×=．