Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線BC的函數(shù)解析式為y’=kx+b,求當(dāng)滿足y<y’時(shí)，自變量x的取值范圍.
（3）平行于DE的一條動(dòng)直線l與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點(diǎn)C（0，4），

∴c=4 ①．

∵對稱軸x=- =1，

∴b=-2a ②．

∵拋物線過點(diǎn)A（-2，0），

∴0=4a-2b+c ③，

由①②③解得，a=- ，b=1，c=4，

∴拋物線的解析式為y=- x2+x+4；

（2）解：∵A（﹣2，0），對稱軸x=1，

∴B（4，0）

根據(jù)圖像，得x<0 或x>4時(shí)，y

（3）解：已知DE∥PQ，當(dāng)DE=PQ時(shí)，以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，﹣m+4），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（m，﹣ m2+m+4），

∴|﹣m+4+ m2﹣m﹣4|=DE= ，

∴m=1，m=3，m= ，m=

當(dāng)m=1時(shí)，線段PQ與DE重合，舍去．

∴P1（3，1），

P2（ ， ），

P3（ ， ）.

【解析】（1）方法一、根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)可求得c=4，根據(jù)對稱軸x=1，得出b=-2a ，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式得出0=4a-2b+c ，聯(lián)立求解，即可求出函數(shù)解析式。方法二、根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，由點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸x=1，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)函數(shù)解析式為交點(diǎn)式，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求出a的值，即可求出函數(shù)解析式。
（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，觀察函數(shù)圖像要使y<y’時(shí)，就要觀察拋物線低于直線BC的部分，即可求出結(jié)果。
（3）抓住已知條件平行于DE的一條動(dòng)直線l，可知DE∥PQ，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相等，要證以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只需證得DE=PQ即可。先根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相等，分別設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)DE=PQ建立方程，求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題．