Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（m，n）和點(diǎn)Q（x，y）．給出如下定義：若 ，則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“伴隨點(diǎn)”．例如：點(diǎn)（1，2）的“伴隨點(diǎn)”為點(diǎn)（5，0）．

（1）若點(diǎn)Q（﹣2，﹣4）是一次函數(shù)y＝kx+2圖象上點(diǎn)P的“伴隨點(diǎn)”，求k的值．

（2）已知點(diǎn)P（m，n）在拋物線(xiàn)C1：y＝上，設(shè)點(diǎn)P的“伴隨點(diǎn)”Q（x，y）的運(yùn)動(dòng)軌跡為C2．

①直接寫(xiě)出C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

②拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B（非原點(diǎn)），試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得以A、B、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

③若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足﹣2≤m≤a時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)y滿(mǎn)足﹣3≤y≤1，直接寫(xiě)出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1);(2) ①y＝x2﹣3x+6;②見(jiàn)解析;③2≤a≤6.

【解析】

（1）根據(jù)伴隨點(diǎn)定義可求k的值

（2）①根據(jù)伴隨點(diǎn)的定義可求C2的解析式

②先求A，B坐標(biāo)，以A、B、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分三類(lèi)討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求M點(diǎn)坐標(biāo)

③由x＝m+4可得 2≤x≤a+4，且拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，﹣3），﹣3≤y≤1可得6≤a+4≤10，可求a的取值范圍．

解（1）設(shè)P（x，kx+2）

根據(jù)題意得：

解得：

（2）①根據(jù)題意可得

∴

∴C2的解析式：，

②∵拋物線(xiàn)C1：

∴B（4，0），A（2，﹣1）

∵以A、B、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

∴若BA為邊，BM為邊，則AB∥MQ，AQ∥BM

∴Q與A的縱坐標(biāo)相同

∴

∴

解得：

∴或，

∵AQ＝BM，A（4，0）

∴或，

若AB為邊，BM為對(duì)角線(xiàn)，

∴對(duì)角線(xiàn)AQ與BM互相平分且交點(diǎn)在x軸上

∴Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為1

∴

解得x1＝2，x2＝10

∴AQ中點(diǎn)橫坐標(biāo)為6或2，且AQ與BM互相平分

∴M（8，0）或（0，0）

若BM為邊，AB為對(duì)角線(xiàn)，

∴AB的中點(diǎn)且AB與MQ互相平分

∴Q或

∵MQ的中點(diǎn)為，

∴M或，

∴綜上所述M或，（0，0），（ 8，0）

，.

③∵x＝m+4，﹣2≤m≤a

∴2≤x≤4+a

∵C2的解析式：

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，﹣3）

∵﹣3≤y≤1

∴當(dāng)y＝1時(shí)，x＝2或10

∴6≤4+a≤10

∴2≤a≤6.