Question

【題目】命題：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）．

已知：如圖，△ABC中，∠B=∠C．

求證：AB=AC．

三位同學(xué)作出了三種不同的輔助線，并完成了命題的證明．小剛的方法：作∠BAC的平分線AD，可證△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC邊上的高AD，可證△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC邊上的中線AD．

（1）請你寫出小剛與小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：　 　

（2）請你按照小莉的思路完成命題的證明．

Answer 1

【答案】（1）AAS；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)AAS即可判斷；

（2）過點D作DE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AC于點F．首先證明△BDE≌△CDF（AAS），推出BE=CF，DE=DF，再證明Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE=AF即可解決問題；

詳解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，

故答案為AAS．

（2）證明：過點D作DE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AC于點F．

∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．

∴△BDE≌△CDF（AAS）．

∴BE=CF，DE=DF．

在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．

∵AD=AD，DE=DF，

∴Rt△AED≌Rt△AFD．

∴AE=AF．

∴AE+BE=AF+CF．

即AB=AC．