Question

【題目】D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)，O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB，OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）若四邊形DGFE是菱形，點(diǎn)O所在位置應(yīng)滿足什么條件？（直接寫出答案不需要說(shuō)明理由．）

（3）在圖2中作出點(diǎn)O，使得四邊形DGFE是正方形（保留作圖痕跡，不寫作法）．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時(shí)，四邊形DGFE是菱形；（3）如圖2，點(diǎn)O即為所求，見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由三角形的中位線定理證DE=BC，DE∥BC，GF=BC，GF∥BC，則可得到DE=GF，DE∥GF，由平行四邊形的判定即可證明結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時(shí)，四邊形DGFE是菱形，如圖1-2，連接AO，因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時(shí)，AO=BC，由三角形的中位線定理可證DG=GF=EF=DE，即可得出四邊形DGEF為菱形；

（3）在滿足（2）的條件下，只要AO⊥BC，即可證四邊形DGEF是正方形，過(guò)作 的垂線AM，在AM上截取AO，使AO=BC即可得到答案．

（1）證明：∵D、E分別是不等邊三角形ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，

∴DE＝BC，DE∥BC，

∵點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，

∴GF＝BC，GF∥BC，

∴DE＝GF，DE∥GF，

∴四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時(shí)，四邊形DGFE是菱形，理由如下：

如圖1﹣2，連接AO，

當(dāng)點(diǎn)O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時(shí)，AO＝BC，

∵D是AB的中點(diǎn)，G是OB的中點(diǎn)，

∴DG＝AO，

同理，EF＝AO，

∴DG＝EF＝AO，

∵AO＝BC，且由（1）知GF＝DE＝BC，

∴DG＝GF＝EF＝DE，

∴四邊形DGEF為菱形；

（3）解：如圖2，點(diǎn)O即為所求，作法如下：

①在線段BC上取點(diǎn)Q，以A為圓心，AQ的長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BC于點(diǎn)N；

②分別以Q，N為圓心，大于QN長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M；

③連接AM，在AM上截取AO，使AO＝BC．