Question

【題目】如圖，在中，(圓心在內(nèi)部)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，交線段于點(diǎn)直徑交于點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在上．連結(jié)．

求證:．

在圓心的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

若，求的長(zhǎng)．

若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．(直接寫出答案)

令與邊的另一個(gè)交點(diǎn)為，連結(jié)交于點(diǎn)若，垂足為點(diǎn)求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②或；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由對(duì)稱的性質(zhì)可得∠A＝∠BFD，結(jié)合∠BFD＝∠C，即可推出結(jié)論；

（2）①先證∠DFE為直角，設(shè)，再用含a的代數(shù)式分別將FE，DE，EC表示出來(lái)，根據(jù)列方程即可求出CE的長(zhǎng)；

②分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)落在BF邊上時(shí)，連接DO，設(shè)FF'交AC于點(diǎn)M，證明BD＝BE，△BOD是等腰直角三角形，即可求出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)落在BE邊上時(shí)，點(diǎn)F'與點(diǎn)O重合，證明△DOF為等邊三角形，在Rt△DOE中，利用銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)果；

（3）如圖作輔助線，先證明△QBG≌△ECM，推出BQ＝CE，再證明DQ＝DP＝AD即可．

解：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

，

，

，

，

；

（2）①點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

，

，

，

，

是直徑，

由圓的軸對(duì)稱性可知：，

，

，

，

設(shè)，則，

，

，

解得：，

；

②如圖1，當(dāng)點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)落在BF邊上時(shí)，連接DO，設(shè)FF'交AC于點(diǎn)M，則AC垂直平分FF'，

由（1）知，∠A＝∠C＝45°，∠ABC＝90°，

∴BA＝BC，∠ABM＝∠CBM＝45°，

∵點(diǎn)A，F關(guān)于直線BD對(duì)稱，

∴AD＝DF，AB＝FB，

又∵DB＝DB，

∴△ABD≌△FBD（SSS），

∴∠ABD＝∠FBD，

∵△BFE≌△BCE，

∴∠FBE＝∠CBE，

∴∠ABD＝∠FBD＝∠FBE＝∠CBE＝22.5°，

∴∠DBE＝∠DBF＋∠EBF＝45°，

∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB＝45°，

∴∠DOB＝90°，

在△BDM與△BEM中，∠BDM＝∠BEM＝90°22.5°＝67.5°，

∴BD＝BE，

在等腰Rt△BOD中，設(shè)OB＝OD＝r，則BD＝，

∴BE＝，OE＝，

∴；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)落在BE邊上時(shí)，

∵∠DF'E＝∠DFE＝90°，∠DOB＝90°，

∴點(diǎn)F'與點(diǎn)O重合，

連接OF，則OD＝OF＝DF，

∴△DOF為等邊三角形，

∴∠ODF＝60°，

∴∠ODE＝∠FDE＝30°，

在Rt△DOE中，tan∠ODE＝＝tan30°＝，

∴，

綜上所述，的值為或；

（3）連結(jié)；FC交于點(diǎn)，

，

∴PC是直徑，

∵，

，

是等邊三角形，

，

∵，，

，

，

，

，

，

∴，

，，，

，

，

．