Question

圓O₁過(guò)梯形ABCD的兩頂點(diǎn)A、B，并切腰CD于點(diǎn)N；圓O₂過(guò)點(diǎn)C、D并切腰AB于點(diǎn)M．求證：AM•MB=CN•ND．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),切線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：首先得出PM×PA=PN×PD，則A、M、N、D四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出△AMN∽△NCB，△ADN∽△NMB，進(jìn)而求出即可．

解答：證明：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)P，
則有：PM²=PD×PC，PA×PB=PN²（切割線(xiàn)定理），
∵AD∥BC，
∴

PA

PB

=

PD

PC

，
∴以上三式相乘可得：PM×PA=PN×PD，
∴A、M、N、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADC+∠NMA=180°，
又∵∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠NMA=∠DCB，
又∵∠BNC=∠BAN（弦切角定理），
∴△AMN∽△NCB，
∴

AM

AN

=

NC

NB

①，
同理可得：△ADN∽△NMB，
∴

AN

DN

=

NB

MB

②，
①×②得：

AN

DN

×

AM

AN

=

NC

NB

×

NB

MB

∴

AM

DN

=

NC

MB

，
∴AM•MB=CN•ND．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓等知識(shí)，得出△AMN∽△NCB，△ADN∽△NMB是解題關(guān)鍵．