Question

鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作：在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又剩下一個四邊形，稱為第二次操作；…依次類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形．如圖1，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，則▱ABCD為1階準菱形．

（1）判斷與推理：

①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是________階準菱形；

②小明為了剪去一個菱形，進行了如下操作：如圖2，把▱ABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC邊上的點F，得到四邊形ABFE．請證明四邊形ABFE是菱形．

（2）操作、探究與計算：

①已知▱ABCD的鄰邊長分別為1，a（a＞1），且是3階準菱形，請畫出▱ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出a的值；

②已知▱ABCD的鄰邊長分別為a，b（a＞b），滿足a＝6b＋r，b＝5r，請寫出▱ABCD是幾階準菱形．

Answer 1

（1）①2 

②由折疊知：∠ABE＝∠FBE，AB＝BF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥BF，

∴∠AEB＝∠FBE，

∴∠AEB＝∠ABE，

∴AE＝AB，

∴AE＝BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴四邊形ABFE是菱形；

（2）①如圖所示：

②10階準菱形

【解析】

解：（1）①利用鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進行兩次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，故鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是2階準菱形：

②由折疊知：∠ABE＝∠FBE，AB＝BF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥BF，

∴∠AEB＝∠FBE，

∴∠AEB＝∠ABE，

∴AE＝AB，

∴AE＝BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴四邊形ABFE是菱形；

（2）①如圖所示：

②∵a＝6b＋r，b＝5r，

∴a＝6×5r＋r＝31r；

如圖所示：

故▱ABCD是10階準菱形．

【難度】困難