鄰邊不相等的平行四邊形紙片,剪去一個菱形,余下一個四邊形,稱為第一次操作:在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形,又剩下一個四邊形,稱為第二次操作;…依次類推,若第n次操作余下的四邊形是菱形,則稱原平行四邊形為n階準菱形.如圖1,▱ABCD中,若AB=1,BC=2,則▱ABCD為1階準菱形.

(1)判斷與推理:

①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是________階準菱形;

②小明為了剪去一個菱形,進行了如下操作:如圖2,把▱ABCD沿BE折疊(點E在AD上),使點A落在BC邊上的點F,得到四邊形ABFE.請證明四邊形ABFE是菱形.

(2)操作、探究與計算:

①已知▱ABCD的鄰邊長分別為1,a(a>1),且是3階準菱形,請畫出▱ABCD及裁剪線的示意圖,并在圖形下方寫出a的值;

②已知▱ABCD的鄰邊長分別為a,b(a>b),滿足a=6b+r,b=5r,請寫出▱ABCD是幾階準菱形.


(1)①2 

②由折疊知:∠ABE=∠FBE,AB=BF,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AE∥BF,

∴∠AEB=∠FBE,

∴∠AEB=∠ABE,

∴AE=AB,

∴AE=BF,

∴四邊形ABFE是平行四邊形,

∴四邊形ABFE是菱形;

(2)①如圖所示:

②10階準菱形

【解析】

解:(1)①利用鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進行兩次操作,所剩四邊形是邊長為1的菱形,故鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是2階準菱形:

②由折疊知:∠ABE=∠FBE,AB=BF,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AE∥BF,

∴∠AEB=∠FBE,

∴∠AEB=∠ABE,

∴AE=AB,

∴AE=BF,

∴四邊形ABFE是平行四邊形,

∴四邊形ABFE是菱形;

(2)①如圖所示:

②∵a=6b+r,b=5r,

∴a=6×5r+r=31r;

如圖所示:

故▱ABCD是10階準菱形.

【難度】困難


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