(1)如圖1,點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點,∠EAF=45°,連接EF,
則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是:EF=BE+FD.連結(jié)BD,交AE、AF于點M、N,且MN、BM、DN滿足,請證明這個等量關(guān)系;
(2)在△ABC中, AB=AC,點D、E分別為BC邊上的兩點.
①如圖2,當(dāng)∠BAC=60°,∠DAE=30°時,BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是__________________;
②如圖3,當(dāng)∠BAC=,(0°<<90°),∠DAE=時,BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是____________________.【參考:】
(1)證明見解析;(2)①DE2=BD2+BD•EC+EC2;②.
【解析】
試題分析:(1)如圖1,把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM',連接NM′.就可以得出△ABM≌△ADM′,就有∠BAM=∠DAM′,就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N,由勾股定理就可以得出結(jié)論MN2=DN2+BM2.
(2)①如圖2,把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF,連接EF.就可以得出△ABD≌△ACF,就有∠BAD=∠CAF,∠B=∠ACF,就可以得到∠DAE=∠FAE,得出△ADE≌△AFE,就有DE=FE,在△EFC中,作FG⊥EC的延長線于點G,由三角函數(shù)值就可以得出CG=CF,GF=CF,在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出結(jié)論.
②如圖3,把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到△ACF,連接EF.就可以得出△ABD≌△ACF,就有∠BAD=∠CAF,∠B=∠ACF,就可以得到∠DAE=∠FAE,得出△ADE≌△AFE,就有DE=FE,在△EFC中,作FG⊥EC的延長線于點G,由三角函數(shù)值就可以得出CG=cosa•CF,GF=sina•CF,在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出結(jié)論.
試題解析:(1)如圖1,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABM=∠ADN=45°.
把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM'.連結(jié)NM'.
∴△ABM≌△ADM′.∴DM'=BM,AM'=AM,∠ADM'=∠ABM=45°,∠DAM'=∠BAM.
∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°,即∠NDM′=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠BAM+∠DAN=45°.∴∠DAM′+∠DAF=45°,即∠M′AN=45°.∴∠M'AN=∠MAN.
在△AMN和△AM′N中,AM=AM′,∠MAN=∠M′AN,AN=AN,
∴△AMN≌△AM′N(SAS).∴M'N=MN.
∵∠NDM′=90°,∴M'N2=DN2+DM'2,
∴MN2=DN2+BM2.
(2)①BD、DE、EC關(guān)系式為:DE2=BD2+BD•EC+EC2.理由如下:
如圖2,把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF,連接EF,作FG⊥EC的延長線于點G.
∴△ABD≌△ACF,∠FGC=90°.∴AD=AF,BD=CF,∠BAD=∠CAF,∠B=ACF.
∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等邊三角形.∴∠B=∠ACB=60°.∴∠ACF=60°.
∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°,即∠ECF=120°.∴∠FCG=60°.∴∠CFG=30°.
∴CG=CF.
在Rt△CFG中,由勾股定理,得FG=CF.
∵∠DAE=30°,∴∠BAD+∠EAC=30°.∴∠CAF+∠EAC=30°,即∠EAF=30°.∴∠DAE=∠FAE.
在△ADE和△AFE中,AD=AE,∠DAE=∠FAE,∠AE=AE,
∴△ADE≌△AFE(SAS).∴DE=EF.
在Rt△EGF中,由勾股定理,得EF2=EG2+FG2,
∴.
②BD、DE、EC等量關(guān)系是:.理由如下:
把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到△ACF,連接EF.作FG⊥EC的延長線于點G.
∴△ABD≌△ACF,∠FGC=90°.
∴AD=AF,BD=CF,∠BAD=∠CAF,∠B=ACF.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°,∴∠BAC=∠FCG=α.
∴∠ACF=60°.
∴CG=cosα•CF,F(xiàn)G=sinα•CF.
∵∠DAE=α,∴∠BAD+∠CAE=α.
∴∠CAF+∠CAE=α,即∠EAF=α.
∴∠DAE=∠FAE.
在△ADE和△AFE中,AD=AE,∠DAE=∠FAE,∠AE=AE,
∴△ADE≌△AFE(SAS).∴DE=EF.
在Rt△EGF中,由勾股定理,得EF2=EG2+FG2,
∴
∵,
∴.
考點:1.正方形的性質(zhì);2.等邊三角形的性質(zhì);3.等腰三角形的性質(zhì);4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);5.全等三角形的判定和性質(zhì);6.勾股定理;7.三角函數(shù)值的運用.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014年北京市房山區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知:如圖,梯形ABCD中,AD=BC,F為BC的中點,AB=2,∠A=120°,過點F作EF⊥BC交DC于點E,且EF= 3 ,求DC的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014年北京市房山區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
某班共有學(xué)生31名,其中男生11名.老師隨機請一名同學(xué)回答問題,則男生被選中的概率是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014年北京市懷柔區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
請寫出一個在各自象限內(nèi),y的值隨著x值的增大而減小的反比例函數(shù)的表達式_____________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014年北京市懷柔區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,骰子的六個面上分別刻有1 到6的點數(shù),擲得面朝上的點數(shù)小于3的概率為( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014年北京市平谷區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在△ABC中,D為AB邊上一點、F為AC的中點,過點C作CE//AB交DF的延長線于點E,連結(jié)AE.
(1)求證:四邊形ADCE為平行四邊形.
(2)若EF=2,,求DC的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014年北京市平谷區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,P1、P2、P3…Pn(n為正整數(shù))分別是反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點,A1、A2、A3…An分別為x軸上的點,且△P1OA1、△P2A1A2、△P3A2A3…△PnAn-1An均為等邊三角形.若點A1的坐標(biāo)為(2,0),則點A2的坐標(biāo)為__________________,點An的坐標(biāo)為__________________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014年北京市密云縣中考一模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
某同學(xué)在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計知識后,就下表所列的5種用牙不良習(xí)慣對全班每一個同學(xué)進行了問卷調(diào)查(每個被調(diào)查的同學(xué)必須選擇而且只能在5種用牙不良習(xí)慣中選擇一項),調(diào)查結(jié)果如下統(tǒng)計圖所示.根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息,回答下列問題:
種類 | A | B | C | D | E |
不良習(xí)慣 | 睡前吃水果喝牛奶 | 用牙開瓶蓋 | 常喝飲料嚼冰 | 常吃生冷零食 | 磨牙 |
(1)這個班有多少名學(xué)生?
(2)這個班中有C類用牙不良習(xí)慣的學(xué)生多少人?占全班人數(shù)的百分比是多少?
(3)請補全條形統(tǒng)計圖;
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計這個年級850名學(xué)生中有B類用牙不良習(xí)慣的學(xué)生多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014年北京市東城區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
有五張形狀、大小、質(zhì)地都相同的卡片,上面分別畫有下列圖形:①正方形;②正三角形;③平行四邊形;④等腰梯形;⑤圓.將卡片背面朝上洗勻,從中隨機抽取一張,正面圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的概率是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com