Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知直線l₁和l₂相交于點A，它們的解析式分別為l₁：y=

3

4

x，l₂：y=-

3

4

x+

20

3

．直線l₂與兩坐標軸分別相交于點B和點C，點P在線段OB上從點O出發(fā)．以每秒1個單位的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒4個單位的速度沿B→O→C→B的方向向點B運動，過點P作直線PM⊥OB分別交l₁，l₂于點M，N．連接MQ．設點P，Q運動的時間是t秒（t＞0）
（1）求點A的坐標；
（2）點Q在OC上運動時，試求t為何值時，四邊形MNCQ為平行四邊形；
（3）試探究是否存在某一時刻t，使MQ∥OB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）將兩直線解析式聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解即可得到A的坐標；
（2）由PM垂直于x軸，y軸垂直于x軸，得到MN與QC平行，當MN=QC時，四邊形MNCQ為平行四邊形，MN=NP-MP，由OP=t，得到M與N的橫坐標都為t，分別代入兩直線方程中，表示出出NP與MP，得到MN，由Q走過的路程減去OB得到OQ的長，再由OC-OQ表示出QC，列出關于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意t的值；
（3）分別根據(jù)①當點Q在OC上時，②當點Q在BC上時，求出即可．

解答：解：（1）將兩直線解析式聯(lián)立得：

y= 3 4 x y=- 4 3 x+ 20 3

，
解得：

x= 16 5 y= 12 5

，
∴A（

16

5

，

12

5

）；

（2）∵PM⊥x軸，y軸⊥x軸，
∴PM∥CQ，
當PM=CQ時，四邊形MNCQ為平行四邊形，
對于直線l₂：y=-

4

3

x+

20

3

，令x=0，求出y=

20

3

；令y=0，求出x=5，
∴B（5，0），C（0，

20

3

），即OB=5，OC=

20

3

，
∴CQ=OC-OQ=

20

3

-（4t-5）=

35

3

-4t，
∵OP=t，
∴M與N橫坐標為t，
∴MN=PN-PM=-

4

3

t+

20

3

-

3

4

t=-

25

12

t+

20

3

，
∴

35

3

-4t=-

25

12

t+

20

3

，
解得：t=

60

23

，
則當t=

60

23

秒時，四邊形MNCQ為平行四邊形；

（3）①當點Q在OC上時，如圖2，CQ=

20

3

+5-4t，MP=

3

4

t，
根據(jù)平行線的性質可得：

20

3

+5-4t=-

4

3

t+

20

3

-

3

4

t，
解得：t=

60

23

，
②當點Q在BC上時，如圖3：
在△BOC中，
sin∠OBC=

OC

BC

=

4

5

，MP=

3

4

t，QB=20-4t，
在Rt△BPQ中，點Q到x軸的距離=QBsin∠OBC=

4

5

（20-4t），
點Q到x軸的距離為MP，即

3

4

t=

4

5

（20-4t），
解得：t=

320

79

．
綜上所述：當t=

60

23

或t=

320

79

時，MQ∥OB．

點評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：兩直線的交點坐標，直線與坐標軸的交點問題，平行四邊形的判定與性質，坐標與圖形性質，屬于動點問題，是近幾年中考的熱點試題．