Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，過(guò)B作⊙A的切線l．

（1）以直線l為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)C（0，9），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，過(guò)D作⊙A的切線DE，E為切點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)F是切線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BFD與△EAD相似時(shí)，求出BF的長(zhǎng) ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=6，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a （x-6）2+k，

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）和C（0，9），

∴將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得： ，解得：a= ，k=-3．

∴拋物線的解析式為y= （x-6）2-3

（2）解：連接AE，

∵DE是⊙A的切線，

∴∠AED=90°，AE=3 ，

∵直線l是拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)A，D是拋物線與x軸的交點(diǎn)，

∴AB=BD=3，

∴AD=6 ， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，

∴DE=3

（3）解：利用有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，
當(dāng)BF⊥ED時(shí)，∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，∴ ，即 ，
∴BF= ．
當(dāng)FB⊥AD時(shí)，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD ，
∴ 即BF= ，
∴當(dāng)△BFD與△EAD相似時(shí)，BF的長(zhǎng)為 或 ．

【解析】（1）根據(jù)題意可知此拋物線的對(duì)稱軸為x=6，設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，建立方程求解，即可求出此函數(shù)解析式。
（2） 由DE是⊙A的切線，因此添加輔助線連接AE，得出∠AED=90°，AE=3 ，再根據(jù)圓的對(duì)稱性及拋物線的對(duì)稱性，求出AD的長(zhǎng)， 在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)。
（3）抓住已知點(diǎn)F是切線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使△BFD與△EAD相似，圖形中隱含公共角∠ADE=∠BDF，因此分兩種情況：當(dāng)BF⊥ED時(shí)；當(dāng)FB⊥AD時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立方程，即可求出BF的長(zhǎng)。