Question

【題目】在平面直角坐標系中，點與稱為一對泛對稱點．

（1）若點，是一對泛對稱點，求的值；

（2）若，是第一象限的一對泛對稱點，過點作軸于點，過點作軸于點，線段，交于點，連接，，判斷直線與的位置關系，并說明理由；

（3）拋物線交軸于點，過點作軸的平行線交此拋物線于點（不與點重合），過點的直線與此拋物線交于另一點．對于任意滿足條件的實數，是否都存在，是一對泛對稱點的情形？若是，請說明理由，并對所有的泛對稱點，探究當＞時的取值范圍；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB∥PQ，見解析；（3）對于任意滿足條件的實數b，都存在M，N是一對泛對稱點的情形，此時對于所有的泛對稱點M(xM，yM)，N(xN，yN)，當yM＞yN時，xM的取值范圍是xM＜1且xM≠0

【解析】

（1）利用泛對稱點得定義求出t的值，即可求出a.

（2）設P，Q兩點的坐標分別為P（p,tq），Q（q,tp），根據題干條件得到A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）的坐標，利用二元一次方程組證出k1=k2，所以AB∥PQ.

（3）由二次函數與x軸交點的特征，得到D點的坐標；然后利用二次函數與一元二次方程的關系，使用求根公式即可得到答案.

（1）解：因為點（1，2），（3，a）是一對泛對稱點，

設3t＝2

解得t＝

所以a＝t×1＝

（2）解：設P，Q兩點的坐標分別為P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.

因為PA⊥x軸于點A，QB⊥y軸于點B，線段PA，QB交于點C，

所以點A，B，C的坐標分別為：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）

設直線AB，PQ的解析式分別為：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.

分別將點A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得

. 解得

分別將點P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得

. 解得

所以k1＝k2.

所以AB∥PQ

（3）解：因為拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y軸于點D，

所以點D的坐標為（0,c）.

因為DM∥x軸，

所以點M的坐標為（xM,c），又因為點M在拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.

可得axM 2＋bxM＋c＝c，即xM（axM＋b）＝0.

解得xM＝0或xM＝－.

因為點M不與點D重合，即xM≠0，也即b≠0，

所以點M的坐標為（－,c）

因為直線y＝ax＋m經過點M，

將點M（－,c）代入直線y＝ax＋m可得，a·（－）＋m＝c.

化簡得m＝b＋c

所以直線解析式為：y＝ax＋b＋c.

因為拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝ax＋b＋c交于另一點N，

由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.

因為△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，

解得x1＝－，x2＝1.

即xM＝－，xN＝1，且－≠1，也即a＋b≠0.

所以點N的坐標為（1,a＋b＋c）

要使M（－,c）與N（1,a＋b＋c）是一對泛對稱點，

則需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－）.

也即a＋b＋c＝（－）·c

也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.

因為a＋b≠0，

所以當a＝－c時，M，N是一對泛對稱點.

因此對于任意滿足條件的實數b，都存在M，N是一對泛對稱點的情形.

此時點M的坐標為（－,－a），點N的坐標為（1,b）.

所以M，N兩點都在函數y＝（b≠0）的圖象上.

因為a＜0，

所以當b＞0時，點M，N都在第一象限，此時 y隨x的增大而減小，所以當yM＞yN時，0＜xM＜1；

當b＜0時，點M在第二象限，點N在第四象限，滿足yM＞yN，此時xM＜0.

綜上，對于任意滿足條件的實數b，都存在M，N是一對泛對稱點的情形，此時對于所有的泛對稱點M（xM,yM），N（xN,yN），當yM＞yN時，xM的取值范圍是xM＜1且/span>xM≠0.