Question

如果兩個(gè)多邊形不僅相似（相似比不等于1），而且有一條公共邊，那么就稱這兩個(gè)多邊形是共邊相似多邊形．例如，圖①中，△ABC與△ACD是共AC邊相似三角形，圖②中，?ABCD與?CEFD是共CD邊相似四邊形．
 
（1）判斷下列命題的真假（在相應(yīng)括號(hào)內(nèi)填上“真”或“假”）：
①正三角形的共邊相似三角形是正三角形．

 

②如果兩個(gè)三角形是位似三角形，那么這兩個(gè)三角形不可能是共邊相似三角形．

 

（2）如圖③，在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，畫(huà)2個(gè)不全等的三角形，使這2個(gè)三角形均是與△ABC共BC邊的相似三角形．（要求：畫(huà)圖工具不限，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡或有必要的說(shuō)明）
（3）圖④是相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a、b（a＞b）的矩形，圖⑤是邊長(zhǎng)為c的菱形，圖⑥是兩底長(zhǎng)分別為d、e，腰長(zhǎng)為f（0＜e-d＜2f）的等腰梯形，判斷這三個(gè)圖形是否存在共邊相似四邊形？如果存在，直接寫(xiě)出它們的共邊相似四邊形各邊的長(zhǎng)度．

（4）根據(jù)（1）、（2）和（3）中獲得的經(jīng)驗(yàn)回答：如果一個(gè)多邊形存在它的共邊相似多邊形，那么它必須滿足條件：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）①如果正三角形的共邊相似三角形存在，那么這兩個(gè)三角形一定全等，所以不合題意，為假命題．
②如果兩個(gè)三角形是位似三角形，這兩個(gè)三角形有公共邊，那么這兩個(gè)三角形只能重合，所以不可能是共邊相似三角形．
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可，即：過(guò)點(diǎn)C做CD⊥AB，垂足為D．
（3）矩形可以存在（如黃金矩形分割），菱形不能存在，因?yàn)橛幸粭l邊相等，那么其余的邊也相等，不符合條件；等腰梯形存在共邊相似四邊形．
（4）由以上規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)多邊形存在它的共邊相似多邊形，那么它必須滿足條件至少有兩條邊不相等，或各邊長(zhǎng)度不全相等．

解答：解：（1）①假．②真．
（2）畫(huà)圖正確．

（3）該矩形存在共邊相似四邊形，各邊長(zhǎng)有兩種情況，
分別是：①

b2

a

，b，

b2

a

，b；②

a2

b

，a，

a2

b

，a．
該菱形不存在共邊相似四邊形．
該等腰梯形存在共邊相似四邊形，各邊長(zhǎng)有六種情況，
分別是：①

d2

e

，d，

fd

e

，

fd

e

；②

d2

f

，

ed

f

，d，d；③

ed

f

，

e2

f

，e，e；④e，

e2

d

，

ef

d

，

ef

d

；⑤f，

ef

d

，

f2

d

，

f2

d

；⑥

fd

e

，f，

f2

e

，

f2

e

．
（4）表述方法不唯一，如至少有兩條邊不相等，或各邊長(zhǎng)度不全相等，等等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面幾何中的新定義問(wèn)題，解決這種問(wèn)題的關(guān)鍵是從題目中捕捉信息，理解概念，然后借用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．