Question

如圖，AB為⊙O的直徑，∠ABC=30°，ED⊥AB于點(diǎn)F，CD切⊙O于點(diǎn)C，交EF于點(diǎn)D．
（1）∠E=

 

°；
（2）△DCE是什么特殊三角形？請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)⊙O的半徑為1，BF=

3- 3

2

時(shí)，求證：△DCE≌△OCB．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),全等三角形的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）ED⊥AB于點(diǎn)F，∠EFA=90°所以∠E+∠A=90°．AB為⊙O的直徑，∠ACB=90°所以∠A+∠ABC=90°，∠E=∠ABC=30°；
（2）CD是⊙O的切線，得∠OCD=90°即∠1+∠3=90°，∠ECB=90°，即∠2+∠3=90°，∠1=∠2．于是得∠2=∠E=30°，DE=CD，進(jìn)而可知此三角形為等腰三角形；
（3）由勾股定理求得BC=

3

，然后由直角三角形的性質(zhì)，求得CE=

3

，即可證得△DCE≌△OCB．

解答：（1）解：∵ED⊥AB于點(diǎn)F，
∴∠EFA=90°．
∴∠E+∠A=90°．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°
∴∠E=∠ABC=30°；

（2）解：△DCE為等腰三角形．理由如下：
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°．
即∠1+∠3=90°．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECB=90°，即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°；
∵OC=OB，
∴∠1=∠B=30°，
∴∠2=30°．
∵∠E=30°，
∴∠E=∠2，
∴DE=CD．
故△DCE的等腰三角形；

（3）證明：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×2=1．
∴BC=

AB2-AC2

=

3

．
AF=AB-BF=2-

3- 3

2

=

1+ 3

2

，
在Rt△AEF中，∵∠E=30°，
∴AE=2AF=1+

3

，
∴CE=AE-AC=1+

3

-1=

3

．
在△DCE和△OCB中，
∵∠E=∠2=∠B=∠1=30°，CE=BC=

3

，
∴在△DCE和△OCB中，

∠2=∠1 CE=CB ∠E=∠B

∴△DCE≌△OCB．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理的推論、等腰三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，綜合性較強(qiáng)．