Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是線段BC上一點，以AD為邊，在AD的右側(cè)作正方形ADEF．直線AE與直線BC交于點G，連接CF．
（1）猜想線段CF與線段BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）連接FG，當△CFG是等腰三角形時，
①當BD＜1時求BD的長．
②當BD＞1時，BD的長度是否改變，若改變，請直接寫出BD的長度．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)得出AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，進而求得，∠BAD=∠CAF，根據(jù)SAS證得△ABD≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CF=BD，∠ACF=∠B=∠ACB=45°，從而求得∠FCG=90°；
（2）先證得△AFG≌△ADG，得出FG=DG，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CG=CF，設(shè) CF=x，得CG=CF=BD=x，F(xiàn)G=DG=2-2x，根據(jù)勾股定理即可求得x的值即可求得BD的長；

解答：解：（1）猜想：CF=BD，CF⊥BD，
∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD與△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF （SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BD；              

（2）∵AE是正方形ADEF的對角線，
∴∠FAE=∠DAE=45°
在△AFG與△ADG中，

AF=AD ∠FAE=∠DAE AG=AG

，
∴△AFG≌△ADG（SAS），
∴FG=DG，
由（1）知，∠GCF=90°，若Rt△FCG是等腰三角形，則CG=CF，
設(shè)CF=x，得CG=CF=BD=x
①當BD＜1時，如圖1，F(xiàn)G=DG=2-2x
在Rt△CFG中，F(xiàn)G²=CF²+CG²
∴（2-2x）²=2x²，
解得：x₁=2+

2

＞1（舍去），x₂=2-

2

∴BD=2-

2

，
②當BD＞1時，如圖2
∵CG=CF=BD，∴FG=DG=BC=2
在Rt△CFG中，F(xiàn)G²=CF²+CG²，
∴2²=2x²，
解得x₁=-

2

（舍去），x₂=

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，注意分類思想的運用．