Question

如圖①，兩個菱形ABCD和EFGH是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形，對角線均在坐標(biāo)軸上，已知菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1：2，∠BAD=120°，其中AD=4．

（1）點D坐標(biāo)為

 

，點E坐標(biāo)為

 

；
（2）固定圖①中的菱形ABCD，將菱形EFCH繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)α度角（0°＜α＜90°），并延長OE交AD于P，延長OH交CD于Q，如圖②所示，
①當(dāng)α=30°時，求點P的坐標(biāo)；
②試探究：在旋轉(zhuǎn)的過程中是否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請推斷出α的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由于∠BAD=120°，易知∠OAD=60°，通過解直角△AOD來求OD、OA的長度；然后利用相似比來求OE的長度；
（2）由（1）和相似多邊形的性質(zhì)知，OA=2，OD=2

3

，EF=2．
①作PM⊥OA于點M，易求AM、PM的長度；
②如果四邊形AFEP是平行四邊形，那么首要滿足的條件是AP∥FE，由于∠FEO=60°，因此∠APO必為60°，此時△AOP中，∠APO=∠OAP=60°，因此△AOP是等邊三角形，已知兩菱形的位似比為2：1，因此EF=

1

2

AD，也就是EF=AP，由此可得出當(dāng)α=60°時，AP

∥

.

EF，即四邊形APEF是平行四邊形．

解答：解：（1）如圖①，∵∠BAD=120°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠OAD=

1

2

∠BAD=60°．
又∵在直角△AOD中，AD=4，
∴OA=AD•cos60°=4×

1

2

=2，
OD=AD•sin60°=4×

3

2

=2

3

．
又菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1：2，
∴OE：OA=1：2，
∴OE=1，
∴點D坐標(biāo)為 （2

3

，0），點E坐標(biāo)為 （0，1）．
故答案是：（2

3

，0），（0，1）；

（2）①由（1）知，OA=2，OD=2

3

，∠OAD=60°．
∵菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1：2，AD=4，
∴EF=

1

2

AB=

1

2

AD=2．
①當(dāng)α=30°時，∠APO=90°，則AP=

1

2

OA=1．
如圖②，作PM⊥OA于點M．則AM=

1

2

AP=

1

2

，PM=

3

2

，
∵OM=OA-AM=

3

2

，
∴點P的坐標(biāo)是（

3

2

，

3

2

）；
②當(dāng)α=60°時，四邊形AFEP是平行四邊形．理由如下：
∵在旋轉(zhuǎn)過程中，EF=2，∠FEO=60°，∠OAP=60°，當(dāng)射線OE旋轉(zhuǎn)角度α=60°時，得△AOP是等邊三角形，此時∠APO=60°，AP=2，
∴AP=EF，
∴∠APO=∠FEO，得AP∥EF，
∴四邊形AFEP是平行四邊形，
∴當(dāng)α=60°時，四邊形AFEP是平行四邊形．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)變換以及相似多邊形的性質(zhì)等知識點，綜合性強．在求線段OA和OD時，也可以利用“在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半”和勾股定理進行解答．