Question

【折紙活動】
第一步，在矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．

第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．
第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把它折到圖③中所示的AD處．

第四步，…
【問題解決】
（1）求圖③中

AB

BC

=

 

；
（2）在圖③中證明四邊形ABQD是菱形；
（3）請?jiān)趫D②中再折一次，折出一個(gè)30°角，請結(jié)合圖②，示意折法，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)以及勾股定理得出

AB

BC

的值即可；
（2）利用翻折變換的性質(zhì)以及平行四邊形的判定得出即可；
（3）利用將正方形的邊CN沿CG折，使點(diǎn)N落在AF上（點(diǎn)H），由平行線等分線段定理，得出GI=CI，進(jìn)而得出∠NCG=∠GCH=∠BCH=30°．

解答：解：（1）由題意得：設(shè)AC=x則BC=2x，故AB=

5

x，
則

AB

BC

=

5 x

2x

=

5

2

；
故答案為：

5

2

；

（2）由翻折知，AB=AD，∠BAQ=∠DAQ，
∵BQ∥AD
∴∠BQA=∠DAQ．
∴∠BQA=∠BAQ．
∴BA=BQ．
∴AD=BQ．
∴四邊形ADQB是平行四邊形．
∴平行四邊形ADQB是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形）；

（3）如圖，

將正方形的邊CN沿CG折，使點(diǎn)N落在AF上（點(diǎn)H），此時(shí)∠NCG=∠GCH=∠BCH=30°．
（注：方法不惟一，注意閱讀學(xué)生操作方法；但是尺規(guī)作圖獲得的30°不給分）
理由如下：
設(shè)CG交AF于點(diǎn)I，由平行線等分線段定理，
∵M(jìn)N∥AF∥BC，且NA=CA，
∴GI=CI．
∴在Rt△GHC中，GI=CI=HI．
∴∠IHC=∠ICH．
又∠ICA=∠ICH．∠IHC=∠BCH．
∴∠ICA=∠ICH=∠BCH=30°．
（注：注意學(xué)生不同證法，只要推理正確均給分，淡化形式）

點(diǎn)評：此題主要考查了幾何變換以及翻折變換的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識，熟練利用勾股定理以及翻折變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．