Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C、D兩點在⊙O上，且BC=CD，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線．
（2）若AB=4，DE=1，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）求出弧BC=弧CD，推出∠DAC=∠BAC=∠OCA，推出AE∥OC，推出∠OCE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）得出矩形CMDE，推出CM=ED=2，求出BM，分別求出扇形BOC和三角形BOC的面積，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵BC=DC
∴弧BC=弧CD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AE，
∴∠OCF=∠E，
∵EC⊥AE，
∴∠E=90°，
∴∠OCF=90°，
∴CE與⊙O相切；

（2）解：連接BD、OD、OC，BD交OC于M，
∵弧BC=弧CD，
∴OC⊥BD，
∴∠OMB=90°，
∵∠E=∠EDB=∠ECO=90°，
∴四邊形CMDE是矩形，
∴DE=CM=1，
∵AB=4，
∴OB=OC=2，
∴OM=2-1=1，
∴cos∠BOM=

OM

OB

=

1

2

，
∴∠BOC=60°，
在Rt△BMO中，由勾股定理得：BM=

3

，
∴圖中陰影部分的面積S=

60π×22

360

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

．

點評：本題考查了切線的判定，解直角三角形，扇形的面積，垂徑定理的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．