【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+ADC=180°,點(diǎn)E,F分別在四邊形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=BAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.

1)思路梳理

ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ADG,使ABAD重合,由∠B+ADC=180°,得∠FDG=180°,即點(diǎn)FD,G三點(diǎn)共線,易證AFG≌△AFE,故EF,BEDF之間的數(shù)量關(guān)系為__;

2)類比引申

如圖2,在圖1的條件下,若點(diǎn)E,F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB,DC延長線上,∠EAF=BAD,連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.

3)聯(lián)想拓展

如圖3,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E均在邊BC上,且∠DAE=45°,若BD=1,EC=2,直接寫出DE的長為________________.

【答案】1EFBEDF;(2EFDFBE;證明見解析;(3.

【解析】

1)將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ADG,使ABAD重合,首先證明FDG三點(diǎn)共線,求出∠EAF=∠GAF,然后證明AFG≌△AFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;

2)將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使ABAD重合,得到ADE',首先證明E'D,F三點(diǎn)共線,求出∠EAF=∠E'AF,然后證明AFE≌△AFE',根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;

3)將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACD',使ABAC重合,連接ED',同(1)可證AEDAED',求出∠ECD'90°,再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

解:(1)將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ADG,使ABAD重合,

∵∠B+∠ADC180°,

∴∠FDG180°,即點(diǎn)F,D,G三點(diǎn)共線,

∵∠BAE=∠DAG,∠EAFBAD,

∴∠EAF=∠GAF,

AFGAFE中,,

∴△AFG≌△AFE,

EFFGDGDFBEDF;

2EFDFBE;

證明:將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使ABAD重合,得到ADE',則ABEADE',

∴∠DAE'=∠BAEAE'AE,DE'BE,∠ADE'=∠ABE,

∵∠ABC+∠ADC180°,∠ABC+∠ABE180°,

∴∠ADE'=∠ADC,即E',D,F三點(diǎn)共線,

∵∠EAFBAD,

∴∠E'AF=∠BAD(∠BAF+∠DAE')=∠BAD(∠BAF+∠BAE)=∠BADEAFBAD,

∴∠EAF=∠E'AF

AEFAE'F中,

∴△AFE≌△AFE'SAS),

FEFE',

又∵FE'DFDE',

EFDFBE;

3)將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACD',使ABAC重合,連接ED',

同(1)可證AEDAED',

DED'E

∵∠ACB=∠B=∠ACD'45°,

∴∠ECD'90°,

RtECD'中,ED',即DE,

故答案為:

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