Question

如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為

5

，OP=1，求BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：幾何圖形問題

分析：（1）由垂直定義得∠A+∠APO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根據(jù)對頂角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；
（2）設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到（

5

）²+x²=（x+1）²，然后解方程即可．

解答：（1）證明：連接OB，如圖，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°，
∵CP=CB，
∴∠CBP=∠CPB，
而∠CPB=∠APO，
∴∠APO=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)BC=x，則PC=x，
在Rt△OBC中，OB=

5

，OC=CP+OP=x+1，
∵OB²+BC²=OC²，
∴（

5

）²+x²=（x+1）²，
解得x=2，
即BC的長為2．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理．