Question

如圖，把△OAB放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=

3

2

，把△OAB沿x軸的負(fù)方向平移2OA的長度后得到△DCE．
（1）若過原點的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點B、E，求此拋物線的解析式；
（2）若點P在該拋物線上移動，當(dāng)點p在第一象限內(nèi)時，過點p作PQ⊥x軸于點Q，連接OP．若以O(shè)、P、Q為定點的三角形與以B、C、E為定點的三角形相似，直接寫出點P的坐標(biāo)；
（3）若點M（-4，n）在該拋物線上，平移拋物線，記平移后點M的對應(yīng)點為M′，點B的對應(yīng)點為B′．當(dāng)拋物線想做或享有平移時，是否存在某個位置，使四邊形M′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求得B，E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）點P的坐標(biāo)可設(shè)為（x，

3

8

x²）．因為∠BEC=∠OQP=90°，所以以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與以B、C、E為頂點的三角形相似時，Q與E一定對應(yīng)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：（i）△OQP∽△BEC；（ii）△PQO∽△BEC；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，求解即可；
（3）左右平移時，使M'D+CB'最短即可，那么作出點M′關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為M″，得到直線B″M″的解析式，令y=0，求得相應(yīng)的點的坐標(biāo)；進(jìn)而得到拋物線頂點平移的規(guī)律，用頂點式設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把新頂點坐標(biāo)代入即可．

解答：解：（1）依題意得：B（2，

3

2

）．
∵OC=2，CE=

3

2

，
∴E（-2，

3

2

）．
∵拋物線經(jīng)過原點和點B、E，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²（a≠0）．
∵拋物線經(jīng)過點B（2，

3

2

），
∴

3

2

=4a．
解得：a=

3

8

．
∴拋物線的解析式為y=

3

8

x²；

（2）∵點P在拋物線上，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，

3

8

x²）．
分兩種情況：
（i）當(dāng)△OQP∽△BEC時，則

PQ

CE

=

OQ

BE

，
即

3 8 x2

3 2

=

x

4

，
解得：x=1，
∴點P的坐標(biāo)為（1，

3

8

）；
（ii）當(dāng)△PQO∽△BEC時，則

PQ

BE

=

OQ

EC

，
即

3 8 x2

4

=

x

3 2

，
解得：x=

64

9

，
∴點P的坐標(biāo)為（

64

9

，

512

27

）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標(biāo)是P（1，

3

8

）或P （

64

9

，

512

27

）；

（3）存在．
因為線段M′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形M′B′CD的周長最短，只要使M′D+CB′最短．
如果將拋物線向右平移，顯然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形M′B′CD的周長最短，顯然應(yīng)該將拋物線 y=

3

8

x²向左平移．
由題知M（-4，6）．
設(shè)拋物線向左平移了n個單位，則點M′和B′的坐標(biāo)分別為M′（-4-n，6）和B′（2-n，

3

2

）．
因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B″（-n，

3

2

）． 
要使M′D+CB′最短，只要使M′D+DB″最短．
點M′關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為M″（-4-n，-6）．
設(shè)直線M″B″的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），點D應(yīng)在直線M″B″上，
∴直線M″B″的解析式為y=

6

n

x+

24

n

將B″（-n，

3

2

）代入，求得n=

16

5

．
故將拋物線向左平移

16

5

個單位時，四邊形M′B′CD的周長最短，此時拋物線的解析式為y=

3

8

（x+

16

5

）²．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，矩形、平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．