【題目】如圖,拋物線與x軸交于A(1,0)、B(-3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)試判斷△BCD的形狀,并說(shuō)明理由.
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=-x2-2x+3,(-1,4);(2)△BCD是直角三角形.理由見(jiàn)解析;(3)P1(0,0),P2(0,),P3(9,0).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;
(2)利用勾股定理求得△BCD的三邊的長(zhǎng),然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷;
(3)分p在x軸和y軸兩種情況討論,舍出P的坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解.
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c
由拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3),可知c=3.即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3.
把點(diǎn)A(1,0)、點(diǎn)B(-3,0)代入,得 解得a=-1,b=-2
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4);
(2)△BCD是直角三角形.
理由如下:過(guò)點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F.
∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD為直角三角形.
(3)①△BCD的三邊, ,又,故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí),△ACP∽△DBC;
②當(dāng)AC是直角邊時(shí),若AC與CD是對(duì)應(yīng)邊,設(shè)P的坐標(biāo)是(0,a),則PC=3-a, ,即 ,解得:a=-9,則P的坐標(biāo)是(0,-9),三角形ACP不是直角三角形,則△ACP∽△CBD不成立;
③當(dāng)AC是直角邊,若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí),設(shè)P的坐標(biāo)是(0,b),則PC=3-b,則 ,即 ,解得:b=-,故P是(0,-)時(shí),則△ACP∽△CBD一定成立;
④當(dāng)P在x軸上時(shí),AC是直角邊,P一定在B的左側(cè),設(shè)P的坐標(biāo)是(d,0).
則AP=1-d,當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),
,即 ,解得:d=1-3,此時(shí),兩個(gè)三角形不相似;
⑤當(dāng)P在x軸上時(shí),AC是直角邊,P一定在B的左側(cè),設(shè)P的坐標(biāo)是(e,0).
則AP=1-e,當(dāng)AC與DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí), ,解得:e=-9,符合條件.
總之,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1(0,0),P2(0,),P3(9,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、BC上的點(diǎn),且DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:4,則S△BDE:S△DAC=( )
A.1:25B.1:20C.1:18D.1:16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,直線y=與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B,C,拋物線y=過(guò)B,C兩點(diǎn),且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,連接AC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)D(與點(diǎn)A不重合),使得S△DBC=S△ABC,若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)有寬度為2,長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)的矩形(陰影部分)沿x軸方向平移,與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q,交直線CB于點(diǎn)M和點(diǎn)N,在矩形平移過(guò)程中,當(dāng)以點(diǎn)P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綠色出行是對(duì)環(huán)境影響最小的出行方式,“共享單車(chē)”已成為長(zhǎng)春市的一道亮麗的風(fēng)景線.某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組為了了解“共享單車(chē)”的使用情況,對(duì)本校師生在7月6日至7月10日使用單車(chē)的情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查. 以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖的一部分:
請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)7月7日使用“共享單車(chē)”的師生有_________人.
(2)不同品牌的“共享單車(chē)”各具特色,社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組針對(duì)有過(guò)使用“共享單車(chē)”經(jīng)歷的師生做了進(jìn)一步調(diào)查,每個(gè)人都按要求選擇了一種自己喜歡的“共享單車(chē)”,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖,其中喜歡mobike的師生有36人.求喜歡ofo的師生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】體育文化公司為某學(xué)校捐贈(zèng)甲、乙兩種品牌的體育器材,甲品牌有A、B、C三種型號(hào),乙品牌有D、E兩種型號(hào),現(xiàn)要從甲、乙兩種品牌的器材中各選購(gòu)一種型號(hào)進(jìn)行捐贈(zèng).
(1)下列事件是不可能事件的是 .
A.選購(gòu)乙品牌的D型號(hào) B.既選購(gòu)甲品牌也選購(gòu)乙品牌
C.選購(gòu)甲品牌的A型號(hào)和乙品牌的D型號(hào) D.只選購(gòu)甲品牌的A型號(hào)
(2)寫(xiě)出所有的選購(gòu)方案(用列表法或樹(shù)狀圖);
(3)如果在上述選購(gòu)方案中,每種方案被選中的可能性相同,那么A型器材被選中的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某超市用1200元購(gòu)進(jìn)一批甲玩具,用800元購(gòu)進(jìn)一批乙玩具,所購(gòu)甲玩具件數(shù)是乙玩具件數(shù)的,已知甲玩具的進(jìn)貨單價(jià)比乙玩具的進(jìn)貨單價(jià)多1元.
(1)求:甲、乙玩具的進(jìn)貨單價(jià)各是多少元?
(2)玩具售完后,超市決定再次購(gòu)進(jìn)甲、乙玩具(甲、乙玩具的進(jìn)貨單價(jià)不變),購(gòu)進(jìn)乙玩具的件數(shù)比甲玩具件數(shù)的2倍多60件,求:該超市用不超過(guò)2100元最多可以采購(gòu)甲玩具多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,若將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EFC,連接AF、BE.
(1)求證:四邊形ABEF是平行四邊形;
(2)當(dāng)∠ABC為多少度時(shí),四邊形ABEF為矩形?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】利達(dá)經(jīng)銷(xiāo)店為某工廠代銷(xiāo)一種建筑材料(這里的代銷(xiāo)是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí),月銷(xiāo)售量為45噸.該經(jīng)銷(xiāo)店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn),準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷(xiāo).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí),月銷(xiāo)售量就會(huì)增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.
(1)當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí),計(jì)算此時(shí)的月銷(xiāo)售量;
(2)在遵循“薄利多銷(xiāo)”的原則下,問(wèn)每噸材料售價(jià)為多少時(shí),該經(jīng)銷(xiāo)店的月利潤(rùn)為9000元?
(3)小靜說(shuō):“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),月銷(xiāo)售額也最大.”你認(rèn)為對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于,兩點(diǎn),且.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)作直線,問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn),使得.若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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