【題目】如圖,已知頂點為的拋物線與軸交于,兩點,且.
(1)求點的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)作直線,問拋物線上是否存在點,使得.若存在,求出點的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
【答案】(1)點B的坐標(biāo)為(6,0);(2)二次函數(shù)的解析式為;(3)點M的坐標(biāo)為或
【解析】
(1)由條件可知OC=6,根據(jù)OB=OC,可求出點B的坐標(biāo);
(2)將B,C兩點的坐標(biāo)代入y=ax2+b,求出a,b的值,即可求得二次函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)題意,分M在BC上方和下方兩種情況進(jìn)行解答,畫出相應(yīng)的圖形,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可以求得點M的坐標(biāo).
解:(1)∵C(0,-6)
∴
∵
∴
∴點B的坐標(biāo)為(6,0)
(2)∵拋物線(≠0)經(jīng)過點C(0,-6)和點B(6,0),
∴,解得
∴該二次函數(shù)的解析式為
(3)存在
①若點M在BC上方,設(shè)MC交軸于點D,則∠ODC=45°+15°=60°.
∴∠OCD=30°.
∴設(shè)OD=,則CD=2.
∵在Rt△OCD中,∠COD=90°,OC=6,
∴,
即,
解得(舍),.
∴點D的坐標(biāo)為(,0).
設(shè)直線DC的函數(shù)解析式為
∴,解得
∴直線DC的函數(shù)解析式為
∴,解得(舍),
∴(,12)
②若點M在BC下方,設(shè)MC交軸于點E,則∠OEC=45°-15°=30°.
∵OC=6,則CE=12.
∵在Rt△OCE中,∠COE=90°,
∴=108,∴.
∴點E的坐標(biāo)為(,0).
設(shè)直線EC的函數(shù)解析式為,
∴,解得
∴直線EC的函數(shù)解析式為
∴,解得(舍),.
∴
綜上所述,點M的坐標(biāo)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A(1,0)、B(-3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3),設(shè)拋物線的頂點為D.
(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標(biāo).
(2)試判斷△BCD的形狀,并說明理由.
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖乙,和是有公共頂點的等腰直角三角形,,點為射線,的交點.
(1)如圖甲,將繞點旋轉(zhuǎn),當(dāng)、、在同一條直線上時,連接、,則下列給出的四個結(jié)論中,其中正確的是哪幾個 ;(回答直接寫序號)
①;②;③;④
(2)若,,把繞點旋轉(zhuǎn).
①當(dāng)時,求的長;
②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段的最大值和最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛,各種品牌的山地自行車相繼投放市場.某車行經(jīng)營的 A 型車去年 4 月份銷售總額為 3.2 萬元,今年經(jīng)過改造升級后 A 型車每輛銷售價比去年增加 400 元,若今年 4 月份與去年4 月份賣出的 A 型車數(shù)量相同,則今年 4 月份 A 型車銷售總額將比去年 4 月份銷售總額增加 25%.(A、B 兩種型號車 今年的進(jìn)貨和銷售價格如下表所示)
(1)求今年 4 月份 A 型車每輛銷售價多少元(用列方程進(jìn)行解答);
(2)該車行計劃 5 月份新進(jìn)一批 A 型車和 B 型車共 50 輛,設(shè)購進(jìn)的 A 型車為 x 輛,獲得的總利潤為 y 元,請寫 出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,若 B 型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過 A 型車數(shù)量的兩倍,應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲利最大?最大 利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=16,點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動,與此同時,點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動.如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),當(dāng)點Q運(yùn)動到點C時,兩點停止運(yùn)動,問:
(1)經(jīng)過幾秒后,△PBQ的面積等于20cm2?
(2)△PBQ的面積會等于△ABC的面積的一半嗎?若會,請求出此時的運(yùn)動時間;若不會,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A為反比例函數(shù)y=(其中x>0)圖象上的一點,在x軸正半軸上有一點B,OB=4.連接OA、AB,且OA=AB=2.
(1)求k的值;
(2)過點B作BC⊥OB,交反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象于點C.
①連接AC,求△ABC的面積;
②在圖上連接OC交AB于點D,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(動手操作)
如圖①,把長為l、寬為h的矩形卷成以AB為高的圓柱形,則點A′與點______重合,點B′與點______重合;
(探究發(fā)現(xiàn))
如圖②,圓柱的底面周長是80,高是60,若在圓柱體的側(cè)面繞一圈絲線作裝飾,從下底面A出發(fā),沿圓柱側(cè)面繞一周到上底面B,則這條絲線最短的長度是______;
(實踐應(yīng)用)
如圖③,圓錐的母線長為12,底面半徑為4,若在圓錐體的側(cè)面繞一圈彩帶做裝飾,從圓錐的底面上的點A出發(fā),沿圓錐側(cè)面繞一周回到點A.求這條彩帶最短的長度是多少?
(拓展聯(lián)想)
如圖④,一顆古樹上下粗細(xì)相差不大,可以看成圓柱體.測得樹干的周長為3米,高為18米,有一根紫藤自樹底部均勻的盤繞在樹干上,恰好繞8周到達(dá)樹干的頂部,這條紫藤至少有 米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)二次函數(shù)y1,y2的圖象的頂點分別為(a,b)、(c,d),當(dāng)a=﹣c,b=2d,且開口方向相同時,則稱y1是y2的“反倍頂二次函數(shù)”.
(1)請寫出二次函數(shù)y=x2+x+1的一個“反倍頂二次函數(shù)”;
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=x2+nx和二次函數(shù)y2=nx2+x,函數(shù)y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍頂二次函數(shù)”,求n.
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【題目】新定義:對于關(guān)于的函數(shù)我們稱函數(shù)為函數(shù)的分函數(shù)(其中為常數(shù)).
例如:對于關(guān)于的一次函數(shù)的分函數(shù)為
(1)若點在關(guān)于的一次函數(shù)的分函數(shù)上,求的值.
(2)寫出反比例函數(shù)的分函數(shù)的圖象上隨的增大而減小的的取值范圍 ;
(3)若是二次函數(shù)關(guān)于的分函數(shù).
當(dāng)時,求的取值范圍.
當(dāng)時,則的取值范圍為 ;
(4)若點連結(jié)當(dāng)關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù),與線段有兩個交點,直接寫出的取值范圍.
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