Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t妙（t≥0）．

（1）若三角形CPQ是等腰三角形，求t的值．

（2）如圖②，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ；

①是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度．

②當(dāng)t取何值時(shí)，△CPQ的外接圓面積的最��？并且說明此時(shí)△CPQ的外接圓與直線AB的位置關(guān)系？

Answer 1

【答案】（1）2（2）①不存在，②t=時(shí)，PQ最小值為，△CPQ的外接圓與直線AB相交

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)CQ=CP，列出方程即可解決．

（2））①不存在．不妨設(shè)四邊形PDBQ是菱形，推出矛盾即可．

②如圖，⊙O是△PQC的外接圓的圓心，作OM⊥AB于M，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接OB、OC、OA，由ACOF+ACOE+ABOM=BCAC求出OM以及圓的半徑即可解決問題．

試題解析：（1）∵△CBP是等腰三角形，∠C=90°，

∴CQ=CP，

∴6﹣t=2t，

∴t=2，

∴t=2秒時(shí)，△CBP是等腰三角形．

（2）①不存在．

理由：不妨設(shè)四邊形PDBQ是菱形，

則PD=BQ，

∴t=8﹣2t，

∴t=，

∴CQ=，PC=6﹣=，BQ=PD=，

∴OQ==6，

∴PQ≠BQ，

∴假設(shè)不成立，

∴不存在．

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒a個(gè)單位長度．

∵四邊形PDBQ是菱形，

∴PD=BD，

∴t=10﹣t，

∴t=，

∴BQ=PD=，

∴6﹣a=，

∴a=．

∴點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)長度單位時(shí)，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形．

②如圖，⊙O是△PQC的外接圓的圓心，作OM⊥AB于M，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接OB、OC、OA．

∵PQ===，

∴t=時(shí)，PQ最小值為．

此時(shí)PC=，CQ=，PQ=，

∵ACOF+ACOE+ABOM=BCAC，

∴×8×+×6×+×10×OM=24，

∴OM=，

∴OM＜OP，

∴△CPQ的外接圓與直線AB相交．