【題目】如圖①,在RtABC中,C=90°,AC=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t妙(t0).

(1)若三角形CPQ是等腰三角形,求t的值.

(2)如圖②,過點(diǎn)P作PDBC,交AB于點(diǎn)D,連接PQ;

①是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由,并探究如何改變點(diǎn)Q的速度(勻速運(yùn)動(dòng)),使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形,求點(diǎn)Q的速度.

②當(dāng)t取何值時(shí),CPQ的外接圓面積的最?并且說明此時(shí)CPQ的外接圓與直線AB的位置關(guān)系?

【答案】(1)2(2)不存在t=時(shí),PQ最小值為,CPQ的外接圓與直線AB相交

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)CQ=CP,列出方程即可解決.

(2))①不存在.不妨設(shè)四邊形PDBQ是菱形,推出矛盾即可.

②如圖,O是PQC的外接圓的圓心,作OMAB于M,OEAC于E,OFBC于F,連接OB、OC、OA,由ACOF+ACOE+ABOM=BCAC求出OM以及圓的半徑即可解決問題.

試題解析:(1)∵△CBP是等腰三角形,C=90°,

CQ=CP,

6﹣t=2t,

t=2,

t=2秒時(shí),CBP是等腰三角形.

(2)①不存在.

理由:不妨設(shè)四邊形PDBQ是菱形,

則PD=BQ,

t=8﹣2t,

t=,

CQ=,PC=6﹣=,BQ=PD=,

OQ==6,

PQBQ,

假設(shè)不成立,

不存在.

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒a個(gè)單位長度.

四邊形PDBQ是菱形,

PD=BD,

t=10﹣t,

t=,

BQ=PD=,

6﹣a=

a=

點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)長度單位時(shí),使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形.

②如圖,O是PQC的外接圓的圓心,作OMAB于M,OEAC于E,OFBC于F,連接OB、OC、OA.

PQ===,

t=時(shí),PQ最小值為

此時(shí)PC=,CQ=,PQ=,

ACOF+ACOE+ABOM=BCAC,

×8×+×6×+×10×OM=24,

OM=

OMOP,

∴△CPQ的外接圓與直線AB相交.

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(1)判斷線段ABDE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由;

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(1)設(shè)△POQ的面積為s,寫出s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)t為何值時(shí),△POQ的面積最大,這時(shí)面積是多少

(2)當(dāng)t為何值時(shí),△POQ與△AOB相似?

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(2)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一對(duì)一”互助學(xué)習(xí),請(qǐng)求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.

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