Question

銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別為y₁（萬元）和y₂（萬元），它們與投入資金u的關(guān)系式分別為y₁=

3

5

u

，y₂=

1

5

u．如果將3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，其中對(duì)甲商品的投資為x（萬元）．
（1）求經(jīng)營甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）經(jīng)營甲、乙兩種商品各投入多少萬元時(shí)才能使得總利潤最大．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）對(duì)甲種商品投資x（萬元），對(duì)乙種商品投資（3-x）（萬元），根據(jù)利潤函數(shù)為y=甲商品所得的利潤+乙商品所得的利潤，可得甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若設(shè)t=x

x

，則0≤t≤2；所以，函數(shù)y=-

1

5

t²+

3

5

t+

4

5

，其中t∈[0，2]；由二次函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)的最大值以及對(duì)應(yīng)的t，x值．

解答：解：（1）由已知y₁=

3

5

x

，y₂=

1

5

（3-x），
∴y=y₁+y₂=

3

5

x

+

1

5

（3-x），
自變量x的取值范圍為：0≤x≤3；

（2）令t=x，其中0≤t≤2；則 
y=-

1

5

t2+

3

5

t+

4

5

=-

1

5

（t-

3

2

）2+

5

4

，t∈[0，2]； 
由二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，函數(shù)有最大值y_max=

5

4

，此時(shí)x=

9

4

； 
所以，對(duì)甲投資

9

4

萬元，對(duì)乙投資

7

4

萬元時(shí)，獲得最大總利潤，為

5

4

萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的構(gòu)建以及配方法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．