【題目】已知:如圖所示,拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A(1,0),B(3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設點P在該拋物線上滑動,且滿足條件S△PAB=1的點P有幾個?并求出所有點P的坐標;
(3)設拋物線交y軸于點C,問該拋物線對稱軸上是否存在點M,使得△MAC的周長最小?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】【答案(1)拋物線解析式為 ;
(2)滿足條件的點P有三個坐標分別為(2,1),(,﹣1),(,﹣1);
(3)存在點M(2,﹣1),可使△AMC的周長最小.
【解析】
(1)將A(1,0),B(3,0)代入拋物線中,列方程組可求拋物線解析式;
(2)由于AB=3﹣1=2,而,故△PAB中,AB邊上的高為1,即P點縱坐標為±1,代入拋物線解析式可求P點橫坐標;
(3)過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C',根據(jù)拋物線的對稱性求得C′(4,﹣3),連接直線AC′,求直線AC′的解析式,直線AC′與對稱軸的交點即為所求點M
解:(1)依題意有 ,
∴b=4,c=﹣3,
∴拋物線解析式為 ;
(2)如圖,設P(x,y)
∵AB=2,
∴×2×|y|=1
∴y=±1
當y=1時,解得 ,
當y=﹣1時,解得,
∴滿足條件的點P有三個坐標分別為(2,1),(,﹣1),(,﹣1);
(3)存在.
過點C作拋物線的對稱軸的對稱點C',如圖
∵點C(0,﹣3),對稱軸為x=2,
∴C′(4,﹣3),
設直線AC′的解析式為y=kx+b,
則,
∴k=﹣1,b=1,
∴直線AC′的解析式為y=﹣x+1,
直線AC′與對稱軸x=2的交點為(2,﹣1),即M(2,﹣1),
∴存在點M(2,﹣1),可使△AMC的周長最小.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①9a﹣3b+c=0;②4a﹣2b+c>0;③方程ax2+bx+c﹣4=0有兩個相等的實數(shù)根;④方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的兩根是x1=﹣2,x2=2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是_________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)的圖像,下列說法錯誤的是( )
A. 函數(shù)y的最大值是4 B. 函數(shù)的圖象關于直線x=1對稱
C. 當x<-1時,y隨x的增大而增大 D. 當-4<x<1時,函數(shù)值y>0
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延長線于F.
(1)求證:BE=CF;
(2)如果AB=7,AC=5,求AE,BE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,∠BAC的平分線與線段BC的垂直平分線PQ相交于點P,過點P分別作PN垂直于AB于點N,PM垂直于AC于點M,BN和CM有什么數(shù)量關系?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本題6分)如圖,已知△ABC,∠C=Rt∠,AC<BC,D為BC上一點,且到A,B兩點的距離相等.
(1)用直尺和圓規(guī),作出點D的位置(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)連結(jié)AD,若∠B=37°,求∠CAD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】標有,,,,,六個數(shù)字的立方體的表面展開圖如圖所示,擲這個立方體一次,記朝上一面的數(shù)為,朝下一面的數(shù)為,得到平面直角坐標系中的一個點.已知小華前二次擲得的兩個點所確定的直線經(jīng)過點,則他第三次擲得的點也在這條直線上的概率為________.
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【題目】某中學計劃召開“誠信在我心中”主題教育活動,需要選拔活動主持人,經(jīng)過全校學生投票推薦,有2名男生和1名女生被推薦為候選主持人.
(1)小明認為,如果從3名候選主持人中隨機選拔1名,不是男生就是女生,因此選出的主持人是男生和女生的可能性相同,你同意他的說法嗎?為什么?
(2)如果從3名候選主持人中隨機選拔2名,請通過列表或畫樹狀圖求選拔的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率.
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