Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于點(diǎn)A，AC=2，BD⊥AB于點(diǎn)B，BD=6，以AB為直徑的半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B兩點(diǎn)重合），連接PD、PC，我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形，如圖1所示.

（1）如圖2，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到半圓O與y軸的交點(diǎn)位置時(shí)，求點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積.

（2）如圖3，連接CD、OC、OD,判斷△OCD的形狀，并加以證明.

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，并求面積的最大值.

 

Answer 1

解：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2,

∵P是半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，P在y軸上，

∴OP=2, ∠AOP=90°，∵AC=2，∴四邊形AOPC是正方形，

∴正方形的面積是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，

∴梯形OPDB的面積=,

∴點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積是12.  

（2）判斷△OCD是直角三角形.

證明：延長(zhǎng)CP交BD于點(diǎn)F.則四邊形ACFB為矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，

又∵四邊形AOPC是正方形，∴∠OCP=45°，

∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD.

∴△OCD是直角三角形…

（3）連接OC交半圓O于點(diǎn)P，則點(diǎn)P記為所確定的點(diǎn)的位置.  

理由如下：連接CD，梯形ACDB的面積=為定值，

要使點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，∵CD為定長(zhǎng)，∴P到CD的距離就要最小.

連接OC，設(shè)交半圓O于點(diǎn)P，∵AC⊥OA，AC=OA, ∴∠AOC=45°，過(guò)C作CF⊥BD于F，則ACFB為矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°，∴OC⊥CD,OC=2,∴PC在半圓外，設(shè)在半圓O上的任意一點(diǎn)P^‘到CD的距離為P^‘H,則P^‘H+P^‘O>OH>OC, ∵OC=PC+OP, ∴P^′H> PC,

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到半圓O與OC的交點(diǎn)位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大.  

∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面積=，

又∵梯形ACDB的面積=，

∴點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積=16-（8-4）=8+4.