【題目】如圖1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)(異于A、B),BD⊥直線(xiàn)CP于D,AE⊥直線(xiàn)CP于E,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn),連接DF.
(1)可以把△ACE繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 度(度數(shù)不超過(guò)180°)和△ 重合,則∠FDE= °.
(2)取CE的中點(diǎn)G,連接AD、FG,求證:AD=2FG.
(3)如圖2,AB=8,等腰直角△MNH的斜邊NH的中點(diǎn)也為點(diǎn)F,直線(xiàn)AM和直線(xiàn)CH交于點(diǎn)Q,連接BQ,當(dāng)△MNH繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)一周時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出BQ長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)90,CBD,45;(2)見(jiàn)解析;(3)2-2≤BQ≤2+2
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得CF=AF=BF,CF⊥BF,由“AAS”可證△ACE≌△CBD,則可以把△ACE繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度和△CBD重合,可得CE=DB,EF=DF,可證△CFE≌△BFD,可得∠CFE=∠BFD,可證∠EFD=90°,可求解;
(2)取BD中點(diǎn)H,連接FH,由中點(diǎn)定義和三角形中位線(xiàn)定理可得CG=CE=BD=BH,AD∥FH,AD=2FH,由“SAS”可證△CFG≌△BFH,可得GF=FH,可得AD=2FG;
(3)如圖2,連接CF,MF,由全等三角形的性質(zhì)可求∠AQC=90°,可得點(diǎn)Q在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),即可求解.
(1)如圖1,連接CF,EF,
∵AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn),
∴CF=AF=BF,CF⊥BF,
∵AE⊥CD,BD⊥CD,
∴∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠CAE=90°,∠ACE+∠DCB=90°,
∴∠CAE=∠DCB,且AC=BC,∠AEC=∠CDB=90°,
∴△ACE≌△CBD(AAS)
∴可以把△ACE繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度和△CBD重合,
∴CE=DB,EF=DF,且CF=BF,
∴△CFE≌△BFD(SSS)
∴∠CFE=∠BFD,且∠CFE+∠EFB=90°,
∴∠BFD+∠EFB=90°,
∴∠EFD=90°,且EF=DF,
∴∠FDE=45°,
故答案為:90,CBD,45;
(2)如圖1,取BD中點(diǎn)H,連接FH,
∵點(diǎn)G是CE中點(diǎn),點(diǎn)H是BD中點(diǎn),點(diǎn)F是AB中點(diǎn),且CE=BD,
∴CG=CE=BD=BH,AD∥FH,AD=2FH,
∵△CFE≌△BFD,
∴∠FCG=∠FBH,且CG=BH,CF=BF,
∴△CFG≌△BFH(SAS)
∴GF=FH,
∴AD=2FG;
(3)如圖2,連接CF,MF,
∵AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)F是AB中點(diǎn),AB=8,
∴AF=CF=BF=4,CF⊥AB,AC=BC=4,
∵MN=MH,∠NMH=90°,點(diǎn)F是NH中點(diǎn),
∴NF=FH=FM,MF⊥NH,
∴∠MFH=∠AFC=90°,
∴∠AFM=∠CFH,且AF=CF,FH=FM,
∴△AFM≌△CFH(SAS)
∴∠FAM=∠FCH,
∵∠FAM+∠CAM+∠ACF=90°,
∴∠CAM+∠ACF+∠FCH=90°,
∴∠AQC=90°,
∴點(diǎn)Q在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),
∴當(dāng)點(diǎn)Q在BO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),BQ最大;當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段BO上時(shí),BQ最。
取AC中點(diǎn)O,連接BO,
∴CO=2,
∴BO===2,
∴BQ長(zhǎng)的取值范圍為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線(xiàn)y1=x2+bx+c與直線(xiàn)y2=2x+m相交于A(1,4)、B(﹣1,n)兩點(diǎn).
(1)求y1和y2的解析式;
(2)直接寫(xiě)出y1﹣y2的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱(chēng)之重適等.交易其一,金輕十三兩.問(wèn)金、銀一枚各重幾何?”.意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱(chēng)重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計(jì)).問(wèn)黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)在網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)上)的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(﹣3,5)、C(0,3).
(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格所在的平面內(nèi)畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系,并寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)將△ABC繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A1B1C1,畫(huà)出△A1B1C1.
(3)在直線(xiàn)y=1上存在一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O與正方形ABCD的兩邊AB,AD相切,且DE與⊙O相切于點(diǎn)E.若AB=7,DO=5,則DE的長(zhǎng)度為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn),連接CP并延長(zhǎng),交AD于E,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)點(diǎn)F.問(wèn):
(1)圖中△APD與哪個(gè)三角形全等?并說(shuō)明理由;
(2)求證:△APE∽△FPA;
(3)猜想:線(xiàn)段PC,PE,PF之間存在什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線(xiàn)y=kx+b(k≠0)與雙曲線(xiàn)y=(m≠0)交于點(diǎn)A(﹣,2),B(n,﹣1).
(1)求直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的解析式.
(2)點(diǎn)P在x軸上,如果S△ABP=3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M,N,給出如下定義:如果點(diǎn)P為圖形M上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q為圖形N上任意一點(diǎn),那么稱(chēng)線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值為圖形M,N的“近距離”,記作 d(M,N).若圖形M,N的“近距離”小于或等于1,則稱(chēng)圖形M,N互為“可及圖形”.
(1)當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí),
①如果點(diǎn)A(0,1),B(3,4),那么d(A,⊙O)=_______,d(B,⊙O)= ________;
②如果直線(xiàn)與⊙O互為“可及圖形”,求b的取值范圍;
(2)⊙G的圓心G在軸上,半徑為1,直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,如果⊙G和∠CDO互為“可及圖形”,直接寫(xiě)出圓心G的橫坐標(biāo)m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn).直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn).
(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;
(2)以線(xiàn)段為直徑的圓與射線(xiàn)相交于點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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