【題目】已知點A在x軸負(fù)半軸上,點B在y軸正半軸上,線段OB的長是方程x2﹣2x﹣8=0的解,tan∠BAO=

(1)求點A的坐標(biāo);

(2)點E在y軸負(fù)半軸上,直線ECAB,交線段AB于點C,交x軸于點D,SDOE=16.若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C,求k的值;

(3)在(2)條件下,點M是DO中點,點N,P,Q在直線BD或y軸上,是否存在點P,使四邊形MNPQ是矩形?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)(-8,0)(2)k=- (3)(﹣1,3)或(0,2)或(0,6)或(2,6)

【解析】

(1)解方程求出OB的長,解直角三角形求出OA即可解決問題;
(2)求出直線DE、AB的解析式,構(gòu)建方程組求出點C坐標(biāo)即可;
(3)分四種情形分別求解即可解決問題;

(1)∵線段OB的長是方程x2﹣2x﹣8=0的解,

∴OB=4,

在RtAOB中,tan∠BAO=,

∴OA=8,

∴A(﹣8,0).

(2)∵EC⊥AB,

∴∠ACD=∠AOB=∠DOE=90°,

∴∠OAB+∠ADC=90°,∠DEO+∠ODE=90°,

∵∠ADC=∠ODE,

∴∠OAB=∠DEO,

∴△AOB∽△EOD,

,

OE:OD=OA:OB=2,設(shè)OD=m,則OE=2m,

m2m=16,

m=4或﹣4(舍棄),

∴D(﹣4,0),E(0,﹣8),

直線DE的解析式為y=﹣2x﹣8,

∵A(﹣8,0),B(0,4),

直線AB的解析式為y=x+4,

,解得 ,

∴C(,),

若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C,

∴k=﹣

(3)如圖1中,當(dāng)四邊形MNPQ是矩形時,∵OD=OB=4,

∴∠OBD=∠ODB=45°,

∴∠PNB=∠ONM=45°,

∴OM=DM=ON=2,

∴BN=2,PB=PN=,

∴P(﹣1,3).

如圖2中,當(dāng)四邊形MNPQ是矩形時(點N與原點重合),易證DMQ是等腰直角三角形,OP=MQ=DM=2,P(0,2);

如圖3中,當(dāng)四邊形MNPQ是矩形時,設(shè)PM交BD于R,易知R(﹣1,3),可得P(0,6)

如圖4中,當(dāng)四邊形MNPQ是矩形時,設(shè)PM交y軸于R,易知PR=MR,可得P(2,6).

綜上所述,滿足條件的點P坐標(biāo)為(﹣1,3)或(0,2)或(0,6)或(2,6);

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同步練習(xí)冊答案
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