Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0．
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）關(guān)于x的二次函數(shù)y1=x2-mx+m-1的圖象C₁經(jīng)過（k-1，k²-6k+8）和（-k+5，k²-6k+8）兩點(diǎn)．
①求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
②把①中的拋物線C₁沿x軸翻折后，再向左平移2個(gè)單位，向上平移8個(gè)單位得到拋物線C₂．設(shè)拋物線C₂交x軸于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），點(diǎn)P（a，b）為拋物線C₂在x軸上方部分圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)∠MPN≤45°時(shí)，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）通過一元二次方程根的判別式即可證明．
（2）①根據(jù)x=

x1+x2

2

和x=-

b

2a

即可求得m的值，進(jìn)而求得解析式．
②作出△MNP的外接圓，找出圓心為（0，3），然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答：（1）證明：在x²-mx+m-1=0中，△=m²-4（m-1）=m²-4m+4=（m-2）²
∵當(dāng)m取任何值時(shí)，（m-2）²≥0，
∴無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根．

（2）解：①∵拋物線y1=x2-mx+m-1過點(diǎn)（k-1，k²-6k+8）和點(diǎn)（-k+5，k²-6k+8）．
∴拋物線y1=x2-mx+m-1，
∵對稱軸為：x=

(k-1)+(-k+5)

2

=2，
∴x=

m

2

=2，解得m=4．
∴y1=x2-4x+3

②如圖所示：-

2

≤a≤

2

；

∵y1=x2-4x+3=（x-2）-1²，
∴拋物線C₁沿x軸翻折后，再向左平移2個(gè)單位，向上平移8個(gè)單位得到拋物線C₂為y₂=-x²+9，
∴M（-3，0），N（3，0），
作出△MNP的外接圓，過N點(diǎn)作AN⊥x軸，交圓于A，連接AM交y軸于Q點(diǎn)，Q既是圓心，
∵∠A=∠MPN=45°
∴∠OMQ=45°，
∴Q（0，3），
∴PQ=MQ=3

2

，
∵P（a，-a²+9），
∴PQ²=a²+（-a²+9-3）²=（3

2

）²
即a⁴-11a²+18=0，解得a=

2

或a=-

2

，或a=3（舍去），a=-3（舍去），
故-

2

≤a≤

2

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次方程的根的判別式以及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，構(gòu)建等腰直角三角形是本題的關(guān)鍵．